浙江 2023 · 数学 q19

题面

19．（12分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数$f \left( x \right) = a \ \left( e^{x} + a \right) - x .$

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当$a {>} 0$时，$f \left( x \right) > 2 l n a + \frac{3}{2} .$

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a＞0时，$f \left( x \right) > 2 l n a + \frac{3}{2} .$

答案

见试题解答内容

解析

分析

（1）先求出导函数$f ( x )$，再对 a 分 a≤0 和$a {>} 0$两种情况讨论，判断$f ( x )$的符号，进而得到f（x）的单调性；

（2）由（1）可知，当a＞0时，$f \left( x \right) {_{m i n}}{=} f \left( l n \frac{1}{a} \right) = 1 {+} a^{2}{+} l n a$，要证$f \left( x \right) > 2 l n a + \frac{3}{2} ,$只需证$1 + a^{2} + l n a > 2 l n a + \frac{3}{2}$，只需证$: a^{2} - l n a - \frac{1}{2} > 0$，设$g \ ( a ) = a^{2} - l n a - {\frac{1}{2}} , \ a > 0$求导可得$g \ ( x )_{\ m i n}{=} g \ ( \frac{\sqrt 2} 2 ) \ {>} 0$，从而证得$f \left( x \right) > 2 l n a + \frac{3}{2} .$

解答

解：$\operatorname{( 1 )} f ( x ) = a \ ( e^{x} + a ) - x ,$

则$f \left( x \right) = a e^{x} - 1$

①当 a≤0 时，$f \ ( x ) \ < 0$恒成立，f（x）在R上单调递减，

②当$a {>} 0$时，令$f \ ( x ) \ = 0$得，$x {=} l n {\frac{1}{a}} ,$

当$x \in ( \mathrm{-} \infty , \mathrm{} l n \frac{1}{a} )$时，$f \ ( x ) < 0 , f \left( x \right)$单调递减；当$x \in ( l n \frac{1}{a} , + \infty )$时，f \ ( x ) \ > 0$$f \left( x \right)单调递增，

综上所述，当$a {\leqslant} 0$时，f（x）在 R 上单调递减；当 a＞0 时，f（x）在$( - \infty , l n \frac{1}{a} )$上单调递减，在$( l n {\frac{1}{a}} , \alpha + \infty )$上单调递增

证明：（2）由（1）可知，当$a > 0$时，$f \left( x \right)_{m i n} = f \left( l n \frac{1}{a} \right) = a \ ( \frac{1}{a} + a ) \ - l n \frac{1}{a} = 1 + a^{2} + l n a ,$

要证$f \left( x \right) > 2 l n a + \frac{3}{2} ,$只需证$1 + a^{2} + l n a > 2 l n a + \frac{3}{2} ,$

只需证$a^{2} - l n a - {\frac{1}{2}} > 0$

设$g \ ( a ) = a^{2} - l n a - \frac{1}{2} , \ a > 0 ,$

则$g^{\prime} \Pi ( a ) = 2 a - \frac{1}{a} = \frac{2 a^{2} - 1}{a}$

令$g^{\prime} \ ( a ) \ = 0$得，$a {=}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ,$

当$a \in ( 0 , \frac{\sqrt{2}}{2} )$时，$g^{\prime} \Pi ( a ) < 0 , g ( a )$单调递减，当$a \in ( \frac{\sqrt{2}}{2} , + \infty )$时，$g^{\prime} \ ( a ) \ > 0$g（a）单调递增，

所以$g \ ( a ) \geqslant g \ ( {\frac{\sqrt{2}}{2}} ) = {\frac{1}{2}} - l n {\frac{\sqrt{2}}{2}} - {\frac{1}{2}} = - l n {\frac{\sqrt{2}}{2}} > 0 ,$

即$g \ ( a ) \ > 0$

所以$a^{2} - l n a - {\frac{1}{2}} > 0$得证，

即$f \ ( x ) > 2 l n a + \frac{3}{2}$得证