浙江 2023 · 数学 q17

题面

17．（10分）（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，$A {+} B {=} 3 C , 2 {\sin} ( A {-} C ) {=}{\sin} B$

（1）求 sinA；

（2）设AB＝5，求AB边上的高

（1）求 sinA；

（2）设$A B {=} 5$，求AB边上的高

答案

（1）${\frac{3 {\sqrt{1 0}}}{1 0}} ;$；（2）6

解析

分析

（1）由三角形内角和可得$C {=} \frac{\pi}{4} ,$由$2 \mathrm{s i n} \ ( \cal{A} - {\cal{C}} ) \ = \mathrm{s i n} \cal{B}$，可得2 {\sin \left( \cal{A} - \cal{C} \right)} =$$\sin \ ( A {+} C )），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得$\sin A {=} 3 \cos A$，再结合平方关系即可求出sinA；

（2）由$\sin B {=} \sin \ ( A {+} C )$求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高

解答

解：（1）$\because A + B = 3 C , A + B + C = \pi$

$\therefore 4 C = \pi ,$

$\therefore C = \frac{\pi}{4},$

∵2sin（A﹣C）＝sinB，

$\therefore 2 \sin (A - C) = \sin[\pi - (A + C)] = \sin (A + C),$

∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，

∴sinAcosC＝3cosAsinC，

$\therefore \frac{\sqrt{2}}{2} \sin A = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \cos A,$

$\therefore \sin A = 3 \cos A$，即$\mathrm{c o s} A {=}{\frac{1}{3}} \mathrm{s i n} A$

$\because \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1, \therefore \sin^{2} A + \frac{1}{9} \sin^{2} A = 1,$

解得$\sin^{2} A = {\frac{9}{1 0}} ,$

又$\because A \in ( 0 , \pi ) , \mathrel{\mathop{:}} \cdot \sin A > 0 ,$

$\therefore \sin A = \frac{3 \sqrt{1 0}}{1 0};$

（2）由（1）可知$\sin A = {\frac{3 {\sqrt{1 0}}}{1 0}} , \cos A = {\frac{1}{3}} \sin A = {\frac{\sqrt{1 0}}{1 0}} ,$

$\therefore \sin B = \sin (A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C = \frac{3 \sqrt{1 0}}{1 0} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{1 0}}{1 0} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5},$

$\therefore \frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{B C}{\sin A} = \frac{5}{\sin \frac{\pi}{4}} = 5 \sqrt{2},$

$\therefore A C = 5 \sqrt{2} \sin B = 5 \sqrt{2} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{1 0}, B C = 5 \sqrt{2} \times \sin A = 5 \sqrt{2} \times \frac{3 \sqrt{1 0}}{1 0} = 3 \sqrt{5},$

设AB边上的高为h，

则$| \frac{1}{2} A B \cdot h = \frac{1}{2} \times A C \times B C \times s i n C ,$

$\therefore \frac{5}{2} h = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{1 0} \times 3 \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2},$

解得 h＝6，

即AB边上的高为6