浙江 2023 · 数学 q14

题面

14．（5分）（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台$A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中，$A B {=} 2 , A_{1} B_{1}{=} 1 , A A_{1}{=} \sqrt{2}$则该棱台的体积为

14．（5分）（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台$A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$中，$A B {=} 2 , A_{1} B_{1}{=} 1 , A A_{1}{=}{\sqrt{2}}$则该棱台的体积为$-^{\frac{7 {\sqrt{6}}}{6}} .$

答案

见试题解答内容

解析

分析

先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解

解答

解：如图，设正四棱台$A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$的上下底面中心分别为M，N，过$A_{1}$作$A_{1} H \bot A C$，垂足点为H，由题意易知$A_{1} M = H N = \frac{\sqrt{2}}{2} ;$，又A N = {\sqrt{2}}$$\therefore A H = A N - H N = \frac{\sqrt{2}}{2}，又A A_{1} = \sqrt{2} , \dot{\ldots} A_{1} H {=} M N {=} \frac{\sqrt{6}}{2} ;$$\therefore该四棱台的体积为$\mid \frac{1}{3} \times ( 1 + 4 + \sqrt{1 \times 4} ) \times \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{7 \sqrt{6}}{6}$故答案为：${\frac{7 {\sqrt{6}}}{6}} .$