浙江 2023 · 数学 q12

题面

（多选）12．（5 分）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：m）

的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

答案

ABD

解析

分析

对于 A，由正方体的内切球直径大于 0.99 可判断；对于 B，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断

解答

解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；对于B，如图，

A1

D1

正方体内部最大的正四面体$D \cdot A_{1} B C_{1}$的棱长为${\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = {\sqrt{2}} > 1 . 4$，选项B正确；对于C，棱长为1的正方体的体对角线为$\sqrt{3} < 1 . 8$，选项C错误；对于D，（法一）如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，

A1

D1

I

高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，

六边形EFGHIJ棱长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$米，$\angle G F H = \angle G H F = 3 0^{\circ}$

所以$F H = \sqrt{3} F G = \sqrt{3} G H = \frac{\sqrt{6}}{2}$米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为$\frac{\sqrt{6}}{2}$米，

而$( \frac{\sqrt{6}}{2} )^{2} = \frac{3}{2} > ( 1 . 2 )^{2} = 1 . 4 4$，选项D正确

（法二）因为$1 . 2 m {>} 1 m$，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，

过$A C_{1}$的中点 O 作$O E \bot A C_{1}$，设$O E \cap A C {=} E$

可知$1 A C = {\sqrt{2}} , C C_{1} = 1 , A C_{1} = {\sqrt{3}} , O A = {\frac{\sqrt{3}}{2}} ,$

则$t a n \angle C A C_{1} = \frac{C C_{1}}{A C} = \frac{O E}{A O} ,$，即${\frac{1}{\sqrt{2}}} = {\frac{O E}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}$，解得$O E = {\frac{\sqrt{6}}{4}} ,$

且$( {\frac{\sqrt{6}}{4}} )^{2} = {\frac{3}{8}} = {\frac{9}{2 4}} > {\frac{9}{2 5}} = 0 . 6^{2}$，即$\frac{\sqrt{6}}{4} > 0 . 6$

故以AC₁为轴可能对称放置底面直径为1.2m的圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，

设圆柱的底面圆心为$O_{1}$，与正方体的下底面的切点为M，

可知，$A C_{1} \bot O_{1} M , O_{1} M {=} 0 . 6$

则$t a n \angle C A C_{1} = \frac{C C_{1}}{A C} = \frac{O_{1} M}{A O_{1}} ,$

即${\frac{1}{\sqrt{2}}} = {\frac{0 . 6}{A O_{1}}}$，解得$A O_{1} = 0 . 6 {\sqrt{2}}$

根据对称性可知圆柱的高为${\sqrt{3}} - 2 \times 0 . 6 {\sqrt{2}} \approx 1 . 7 3 2 - 1 . 2 \times 1 . 4 1 4 = 0 . 0 3 5 2 {\sqrt{0 . 0 1}}$

所以能够被整体放入正方体内，故选项D正确

故选：ABD