浙江 2023 · 数学 q11

题面

（多选）11．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数$f \left( x \right)$的定义域为R，f \left( x y \right) = y^{2} f \left( x \right) + x^{2} f$$( y )，则（ ） A．$f \left( 0 \right) = 0$ B．$f \left( 1 \right) = 0$ C$f \left( x \right)$是偶函数D．$x {=} 0$为$f \left( x \right)$的极小值点

答案

ABC

解析

分析

在已知等式中，取 x＝y＝0 判断 A；取$x {=} y {=} 1$判断 B；求出f（﹣1），再取y＝﹣1判断C；取满足等式的特殊函数判断D

解答

解：由$f \left( x y \right) = y^{2} f \left( x \right) + x^{2} f \left( y \right)$

取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；

取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；

取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即$f \left( {{\bar{\alpha}}} 1 \right) = \frac{1}{2} f \left( 1 \right) = 0$

取y＝﹣1，得$f \left( {{\sigma}} - {{\vec{x}}} \right) {{\sigma}}{\stackrel{}{=}} f \left( {{\vec{x}}} \right)$，可得f（x）是偶函数，故C正确；

由上可知，$f \left( {{\sigma}} - 1 \right) = f \left( {{0}} \right) = f \left( 1 \right) = 0$，而函数解析式不确定，

不妨取f（x）＝0，满足$f \left( x y \right) = y^{2} f \left( x \right) + x^{2} f \left( y \right)$

常数函数f（x）＝0无极值，故D错误

故选：ABC