浙江 2022 · 数学 q14

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2022 · 数学 q14 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知函数 f(x)={−x2+2,x≤1,x+1x−1,x>1,f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & x \leq 1, \\ x + \frac{1}{x} - 1, & x > 1, \end{cases} 则 f(f(12))=f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right) = ____；若当 x∈[a,b]x \in[a, b] 时，1≤f(x)≤31 \leq f(x) \leq 3，则 b−ab - a 的最大值是 ____。

答案

①. 3728\frac{37}{28} ②. 3+3##3+33 + \sqrt{3} \#\# \sqrt{3} + 3

解析

分析

结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值，b的最大值即可.

由已知 f(12)=−(12)2+2=74f\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = \frac{7}{4}，f(74)=74+47−1=3728f\left(\frac{7}{4}\right) = \frac{7}{4} + \frac{4}{7} - 1 = \frac{37}{28}，

所以 f[f(12)]=3728f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{37}{28} ,

当 x≤1x \leq 1 时，由 1≤f(x)≤31 \leq f(x) \leq 3 可得 1≤−x2+2≤31 \leq -x^2 + 2 \leq 3 ，所以 −1≤x≤1-1 \leq x \leq 1当 x>1x > 1 时，由 1≤f(x)≤31 \leq f(x) \leq 3 可得 1≤x+1x−1≤31 \leq x + \frac{1}{x} - 1 \leq 3 ，所以 1 < x \leq 2 + \sqrt{3}$$1 \leq f(x) \leq 3 等价于 −1≤x≤2+3-1 \leq x \leq 2 + \sqrt{3} ，所以 [a,b]⊆[−1,2+3][a, b] \subseteq[-1, 2 + \sqrt{3}] 所以 b−ab - a 的最大值为 3+33 + \sqrt{3} 故答案为：3728\frac{37}{28}，3+33 + \sqrt{3}.