浙江 2022 · 数学 q13

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2022 · 数学 q13 原卷截图（含答案）

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题面

  1. 若 3sin⁡α−sin⁡β=10,α+β=π23\sin \alpha - \sin \beta = \sqrt{10}, \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, 则 sin⁡α=\sin \alpha = ____, cos⁡2β=\cos 2\beta = ____.

答案

①. 31010\frac{3\sqrt{10}}{10} ②. 45\frac{4}{5}

解析

分析

先通过诱导公式变形，得到 α\alpha 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 α\alpha ，接下来再求 β\beta 。

α+β=π2\alpha +\beta = \frac{\pi}{2} ， ∴sin⁡β=cos⁡α\therefore \sin \beta = \cos \alpha ，即 3sin⁡α−cos⁡α=103\sin \alpha -\cos \alpha = \sqrt{10}

即 10(31010sin⁡α−1010cos⁡α)=10\sqrt{10}\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\sin\alpha-\frac{\sqrt{10}}{10}\cos\alpha\right)=\sqrt{10} ，令 sin⁡θ=1010\sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{10} ， cos⁡θ=31010\cos\theta=\frac{3\sqrt{10}}{10} ，

则 10sin⁡(α−θ)=10\sqrt{10}\sin(\alpha-\theta)=\sqrt{10} ，∴ α−θ=π2+2kπ,k∈Z\alpha-\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in Z ，即 α=θ+π2+2kπ\alpha=\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi ，

∴sin⁡α=sin⁡(θ+π2+2kπ)=cos⁡θ=31010\therefore \sin \alpha = \sin \left(\theta + \frac{\pi}{2} + 2 k \pi\right) = \cos \theta = \frac{3 \sqrt{1 0}}{1 0}

则 cos⁡2β=2cos⁡2β−1=2sin⁡2α−1=45\cos2\beta=2\cos^{2}\beta-1=2\sin^{2}\alpha-1=\frac{4}{5} .

故答案为： 31010\frac{3\sqrt{10}}{10} ; 45\frac{4}{5} .