浙江 2022 · 数学 q09

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2022 · 数学 q09 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知 a,b∈Ra, b \in R, 若对任意 x∈R,a∣x−b∣+∣x−4∣−∣2x−5∣≥0x \in R, a \mid x - b \mid + \mid x - 4 \mid - \mid 2x - 5 \mid \geq 0, 则 ( ) A a≤1,b≥3a \leq 1, b \geq 3 B. a≤1,b≤3a \leq 1, b \leq 3 C. a≥1,b≥3a \geq 1, b \geq 3 D.

a≥1,b≤3a \geq 1, b \leq 3

答案

D

解析

分析

将问题转换为 a∣x−b∣≥∣2x−5∣−∣x−4∣a \mid x - b \mid \geq |2x - 5| - |x - 4|，再结合画图求解.

由题意有：对任意的 x∈Rx \in R，有 a∣x−b∣≥∣2x−5∣−∣x−4∣a \mid x - b \mid \geq |2x - 5| - |x - 4| 恒成立.

设 f(x)=a∣x−b∣,g(x)=∣2x−5∣−∣x−4∣={1−x,x≤523x−9,52<x<4,x−1,x≥4f(x)=a\left|x-b\right|,\quad g(x)=\left|2x-5\right|-\left|x-4\right|=\begin{cases}1-x,x\leq\frac{5}{2}\\3x-9,\frac{5}{2}<x<4,\\x-1,x\geq4\end{cases}

即 f(x)f(x) 的图象恒在 g(x)g(x) 的上方（可重合），如下图所示：

由图可知， a≥3a\geq 3 ， 1≤b≤31\leq b\leq 3 ，或 1≤a<31\leq a < 3 ， 1≤b≤4−3a≤3,1\leq b\leq 4 - \frac{3}{a}\leq 3,

故选：D.