浙江 2022 · 数学 q08

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2022 · 数学 q08 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1,AC=AA1ABC - A_{1}B_{1}C_{1}, AC = AA_{1}，EE，FF 分别是棱 BC,A1C1BC, A_{1}C_{1} 上的点。记 EFEF 与 AA1AA_{1} 所成的角为 α\alpha，EFEF 与平面 ABCABC 所成的角为 β\beta，二面角 F−BC−AF - BC - A 的平面角为 γ\gamma，则（）

A. α≤β≤γ\alpha \leq \beta \leq \gamma B. β≤α≤γ\beta \leq \alpha \leq \gamma C. β≤γ≤α\beta \leq \gamma \leq \alpha D.

α≤γ≤β\alpha \leq \gamma \leq \beta

答案

A

解析

分析

先用几何法表示出 α\alpha , β\beta , γ\gamma ，再根据边长关系即可比较大小.

如图所示，过点 F 作 FP⊥ACFP \perp AC 于 P，过 P 作 PM⊥BCPM \perp BC 于 M，连接 PE，

则 α=∠EFP\alpha = \angle EFP ， β=∠FEP\beta = \angle FEP ， γ=FMP\gamma = FMP ，

tan⁡α=PEFP=PEAB≤1,tan⁡β=FPPE=ABPE≥1,tan⁡γ=FPPM≥FPPE=tan⁡β,\tan \alpha = \frac{PE}{FP} = \frac{PE}{AB} \leq 1, \tan \beta = \frac{FP}{PE} = \frac{AB}{PE} \geq 1, \tan \gamma = \frac{FP}{PM} \geq \frac{FP}{PE} = \tan \beta,

所以 α≤β≤γ\alpha \leq \beta \leq \gamma ,

故选：A.