浙江 2021 · 数学 q19

题面

19. 如图, 在四棱锥 $P - ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 是平行四边形,

$\angle ABC = 120^{\circ}, AB = 1, BC = 4, PA = \sqrt{15}$, $M$, $N$ 分别为 $BC, PC$ 的中点, $PD \perp DC, PM \perp MD$.

(1) 证明: $AB \perp PM$;

(2) 求直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值.

答案

（1）证明见解析；（2）$\frac{\sqrt{15}}{6}$.

解析

分析

（1）要证 $AB \perp PM$，可证 $DC \perp PM$，由题意可得，$PD \perp DC$，易证 $DM \perp DC$，从而 $DC \perp$ 平面 $PDM$，即有 $DC \perp PM$，从而得证；

（2）取 $AD$ 中点 $E$ ，根据题意可知，$ME, DM, PM$ 两两垂直，所以以点 $M$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量 $\overrightarrow{AN}$ 和平面 $PDM$ 的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出.

（1）在 $\triangle DCM$ 中， $DC = 1$ ， $CM = 2$ ， $\angle DCM = 60^{\circ}$ ，由余弦定理可得 $DM = \sqrt{3}$ 所以 $DM^{2} + DC^{2} = CM^{2}$ ， $\therefore DM\perp DC$ ．由题意 $DC\perp PD$ 且 $PD\cap DM = D$ ， $\therefore DC\perp$ 平面$PDM$ ，而 $PM\subset$ 平面 $PDM$ ，所以 $DC\perp PM$ ，又 $AB / / DC$ ，所以 $AB\perp PM$ ：

(2) 由 $PM \perp MD$, $AB \perp PM$, 而 $AB$ 与 $DM$ 相交, 所以 $PM \perp$ 平面 $ABCD$, 因为 $AM = \sqrt{7}$, 所以 $PM = 2\sqrt{2}$, 取 $AD$ 中点 $E$, 连接 $ME$, 则 $ME, DM, PM$ 两两垂直, 以点 $M$ 为坐标原点, 如图所示, 建立空间直角坐标系,

$A (- \sqrt{3}, 2, 0), P (0, 0, 2 \sqrt{2}), D (\sqrt{3}, 0, 0), M (0, 0, 0), C (\sqrt{3}, - 1, 0)$

又 N 为 PC 中点，所以 $N\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$ , $\overrightarrow{AN} = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{5}{2}, \sqrt{2}\right)$ .

由（1）得 $CD \perp$ 平面 $PDM$ ，所以平面 $PDM$ 的一个法向量 $\vec{n} = (0,1,0)$

从而直线 $AN$ 与平面 $PDM$ 所成角的正弦值为 $\sin \theta = \frac{|\overrightarrow{AN} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\vec{n}|} = \frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{\frac{27}{4} + \frac{25}{4} + 2}} = \frac{\sqrt{15}}{6}$.

【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明 $AB \perp PM$ ，可以考虑 $DC \perp PM$ ，题中与 DC 有垂直关系的直线较多，易证 $DC \perp$ 平面

PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出.