浙江 2021 · 数学 q18

题面

18. 设函数 $f(x) = \sin x + \cos x (x \in \mathbb{R})$.

（1）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}$ 的最小正周期；

（2）求函数 $y = f(x)f\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值.

答案

（1）$\pi$；（2）$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

解析

分析

（1）由题意结合三角恒等变换可得 $y=1-\sin2x$ ，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

（2）由三角恒等变换可得 $y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}$，再由三角函数的图象与性质即可得解.

（1）由辅助角公式得 $f(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$，则 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}=\left[\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)\right]^{2}=2\sin^{2}\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)=1-\cos\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)=1-\sin2x$ 所以该函数的最小正周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ ;

(2) 由题意， $y = f(x)f\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sqrt{2}\sin x = 2\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\sin x$

$= 2 \sin x \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x\right) = \sqrt{2} \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x \cos x$

$= \sqrt{2} \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2 x + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \left(2 x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2},$

由 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 可得 $2x - \frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right]$,

所以当 $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ 即 $x = \frac{3\pi}{8}$ 时，函数取最大值 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.