浙江 2021 · 数学 q15

题面

15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为 $\xi$ ，若取出的两个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ ，一红一黄的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则m-n=____， $E(\xi)=$ ____.

答案

(1).1 (2). $\frac{8}{9}$

解析

分析

根据古典概型的概率公式即可列式求得 $m, n$ 的值，再根据随机变量 $\xi$ 的分布列即可求出 $E(\xi)$。

$P(\xi=2)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{6}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{1}{6}\Rightarrow C_{m+n+4}^{2}=36$ ，所以 $m+n+4=9$ ，

$P(\text{一红一黄})=\frac{C_{4}^{1}\cdot C_{m}^{1}}{C_{m+n+4}^{2}}=\frac{4m}{36}=\frac{m}{9}=\frac{1}{3}\Rightarrow m=3, \text{所以} n=2, \text{则} m-n=1.$

$P (\xi = 2) = \frac{1}{6}, P (\xi = 1) = \frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{1}}{C_{9}^{2}} = \frac{4 \times 5}{3 6} = \frac{5}{9}, P (\xi = 0) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{9}^{2}} = \frac{1 0}{3 6} = \frac{5}{1 8}$

$\therefore E (\xi) = \frac{1}{6} \times 2 + \frac{5}{9} \times 1 + \frac{5}{1 8} \times 0 = \frac{1}{3} + \frac{5}{9} = \frac{8}{9}$

故答案为：1； $\frac{8}{9}$ .