浙江 2021 · 数学 q14

题面

14. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = 60^{\circ}, AB = 2$，$M$ 是 $BC$ 的中点，$AM = 2\sqrt{3}$，则 $AC =$ ____，$\cos \angle MAC =$ ____.

答案

(1). $2\sqrt{13}$ (2). $\frac{2\sqrt{39}}{13}$

解析

分析

由题意结合余弦定理可得 BC=8，进而可得 AC，再由余弦定理可得 $\cos\angle MAC$ .

由题意作出图形，如图，

在 $\triangle ABM$ 中，由余弦定理得 $AM^{2} = AB^{2} + BM^{2} - 2BM\cdot BA\cdot \cos B$

即 $12 = 4 + BM^2 - 2BM \times 2 \times \frac{1}{2}$，解得 $BM = 4$（负值舍去），

所以 BC=2BM=2CM=8，

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理得 $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B = 4 + 64 - 2 \times 2 \times 8 \times \frac{1}{2} = 52$，

所以 $AC = 2\sqrt{13}$ ;

在 $\triangle AMC$ 中，由余弦定理得 $\cos \angle MAC = \frac{AC^2 + AM^2 - MC^2}{2AM \cdot AC} = \frac{52 + 12 - 16}{2 \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$. 故答案为：$2\sqrt{13}$；$\frac{2\sqrt{39}}{13}$.