浙江 2021 · 数学 q09

题面

9. 已知 $a, b \in \mathbb{R}, ab > 0$，函数 $f(x) = ax^2 + b (x \in \mathbb{R})$. 若

$f(s-t), f(s), f(s+t)$ 成等比数列，则平面上点 $(s,t)$ 的轨迹是（） A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线

答案

C

解析

分析

首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

由题意得 $f(s - t)f(s + t) = [f(s)]^2$，即 $\left[a(s - t)^2 + b\right]\left[a(s + t)^2 + b\right] = (as^2 + b)^2$，对其进行整理变形：

$\left(as^{2} + at^{2} - 2ast + b\right)\left(as^{2} + at^{2} + 2ast + b\right) = \left(as^{2} + b\right)^{2},$

$\left(a s^{2} + a t^{2} + b\right)^{2} - (2 a s t)^{2} - \left(a s^{2} + b\right)^{2} = 0$

$\left(2 a s^{2} + a t^{2} + 2 b\right) a t^{2} - 4 a^{2} s^{2} t^{2} = 0$

$- 2 a^{2} s^{2} t^{2} + a^{2} t^{4} + 2 a b t^{2} = 0$

所以 $-2as^{2} + at^{2} + 2b = 0$ 或 $t = 0$ ，

其中 $\frac{s^2}{\frac{b}{a}} -\frac{t^2}{\frac{2b}{a}} = 1$ 为双曲线， $t = 0$ 为直线.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.