浙江 2017 · 数学 q21

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2017 · 数学 q21 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 官方解析）

题面

21．（15 分）如图，已知抛物线x2=yx^{2}{=} y，点A(−12,14),B(32,94)A ( - \frac{1}{2} , \frac{1}{4} ) , B ( \frac{3}{2} , \frac{9}{4} )，抛物线上的点p(x,y)(−12<x<32)p ( x , y ) ( - \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} )），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求∣PA∣∙∣PQ∣| P A | \bullet | P Q |的最大值

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求∣PA∣∙∣PQ∣| P A | \bullet | P Q |的最大值

解析

分析

（Ⅰ）通过点 P 在抛物线上可设P(x, x2){P}^{\mathrm{( x , \ x^{2} )}}），利用斜率公式结合- \frac{1}{2} < x$$< \frac{3}{2}可得结论；

（Ⅱ）通过（I）知P(x,x2)⋅−12<x<32P ( x , x^{2} ) \cdot - \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}，设直线 AP 的斜率为 k，联立直线AP、BP 方程可知 Q 点坐标，进而可用 k 表示出PQ→⋅PA→\overrightarrow{\mathrm{P Q}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P A}}，计算可知| P A | \bullet | P Q | =$$\left( 1 + k \right) \^{3} \left( 1 - k \right)），通过令f ( x ) = ( 1 + x )^{3} ( 1 - x ) {\mathrm{, \}} \ - \ 1 {<} \times{<} 1，求导结合单调性可得结论

解答

解：（Ⅰ）由题可知p(x,x2),−12<x<32,{p} ( {x} , {x}^{2} ) , - \frac{1}{2}{< x}{<} \frac{3}{2} ,

所以kAP=x2−14x+12=x−12∈(−1,1)k_{A P} = \frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{x + \frac{1}{2}} = x - \frac{1}{2} \in \mathrm{( - 1 , 1 )}

故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；

（Ⅱ）由（I）知p(x,x2),−12<x<32,{p} ( {x} , {x}^{2} ) , - \frac{1}{2}{< x}{<} \frac{3}{2} ,

所以PA→=(−12−x,14−x2)\overrightarrow{P A} = ( - \frac{1}{2} - x , \frac{1}{4} - x^{2} )

设直线AP的斜率为k，则AP：v=kx+12k+14v = k x + \frac{1}{2} k + \frac{1}{4}，BP：y=−1kx+32k+94,y = - \frac{1}{\mathrm{k}} x^{+} \frac{3}{2 \mathrm{k}} + \frac{9}{4} ,

联立直线AP、BP方程可知0(3+4k−k22k2+2,9k2+8k+14k2+4)0 ( \frac{3 + 4 \mathrm{k} - \mathrm{k}^{2}}{2 \mathrm{k}^{2} + 2} , \frac{9 \mathrm{k}^{2} + 8 \mathrm{k} + 1}{4 \mathrm{k}^{2} + 4} )

故PQ→=(1+k−k2−k31+k2,−k4−k3+k2+k1+k2)\overrightarrow{\mathrm{P Q}} = ( \frac{1 + \mathrm{k} - \mathrm{k}^{2} - \mathrm{k}^{3}}{1 + \mathrm{k}^{2}} , \frac{- \mathrm{k}^{4} - \mathrm{k}^{3} + \mathrm{k}^{2} + \mathrm{k}}{1 + \mathrm{k}^{2}} )

又因为PA→=(−1−k,−k2−k)\overrightarrow{P A} = ( - 1 - k , - k^{2} - k )

−∣PA∣∙∣PQ∣=PA→∙PQ→=(1+k)3(k−1)1+k2+k2(1+k)3(k−1)1+k2=(1+k)3(k−1),- | \mathrm{PA} | \bullet | \mathrm{PQ} | = \overrightarrow{\mathrm{PA}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = \frac{(1 + \mathrm{k})^{3} (\mathrm{k} - 1)}{1 + \mathrm{k}^{2}} + \frac{\mathrm{k}^{2} (1 + \mathrm{k})^{3} (\mathrm{k} - 1)}{1 + \mathrm{k}^{2}} = (1 + \mathrm{k})^{3} (\mathrm{k} - 1),

所以∣PA∣∙∣PQ∣=(1+k)3(1−k)\left| P A \right| \bullet \left| P Q \right| = \mathrm{( 1 + k )}^{3} \mathrm{( 1 - k )}

令f (x) = ( 1+×) 3 ( 1 − x), − 1<x<1{f} \ ( x ) \ = \ ( \ 1 {+} \times )^{\ 3} \ ( \ 1 \ {-} \ x ) {\mathrm{,}} \ - \ 1 {<} x {<} 1

则f′(x)=(1+x)2(2−4x)=−2(1+x)2(2x−1){f^{\prime}} ( {x} ) = ( 1 + {x} )^{\mathrm{2}} ( 2 - 4 {x} ) = - 2 ( 1 + {x} )^{\mathrm{2}} ( 2 {x} - 1 )

由于当−1<x<−12- \left. 1 < x < - \frac{1}{2} \right.时f′(x)>0f^{\prime} \left( x \right) > 0，当12<x<1\frac{1}{2} < x < 1时f′(x)<0f^{\prime} \left( x \right) < 0

故f(x)max=f(12)=2716{f} ( x )_{m a x} = {f} ( {\frac{1}{2}} ) = {\frac{2 7}{1 6}}，即∣PA∣∙∣PQ∣| P A | \bullet | P Q |的最大值为2716.{\frac{2 7}{1 6}} .