浙江 2017 · 数学 q20

题面

20．（15分）已知函数${f} \left( {x} \right) = \left( {x} - {\sqrt{2 {x} - 1}} \right) {e}^{- {x}} \left( {x}{\geqslant}{\frac{1}{2}} \right)$

（1）求f（x）的导函数；

（2）求f（x）在区间$[{\frac{1}{2}} , \ + \infty )$上的取值范围

（1）求f（x）的导函数；

（2）求f（x）在区间$[{\frac{1}{2}} , \ + \infty )$上的取值范围

解析

分析

（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；

（2）求出 f（x）的导数，求得极值点，讨论当$\frac{1}{2} < x < 1$时，当$1 < x < \frac{5}{2}$时，当$x > \frac{5}{2}$时，${f} ( {x} )$的单调性，判断$f ( \em x ) \beta \geqslant 0$，计算$f ( \frac{1}{2} ) , f ( 1 ) , f ( \frac{5}{2} )$，即可得到所求取值范围

解答

解：（1）函数${f} \left( {x} \right) = \ ( {x} - {\sqrt{2 {x}{-}{1}}} ) \ {e}^{- {x}} \ ( {x}{\geqslant}{\frac{1}{2}} )$

导数$f^{\prime} \left( x \right) = ( 1 - \frac{1}{2} \bullet \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \bullet 2 ) \textnormal{e}^{- x} - \lambda ( x - \sqrt{2 x - 1} ) \textnormal{e}^{- x}$

$= (1 - x + \frac{2 x - 2}{\sqrt{2 x - 1}}) e^{- x} = (1 - x) (1 - \frac{2}{\sqrt{2 x - 1}}) e^{- x};$

（2）由f（x）的导数${f^{\prime}} ( {x} ) = ( 1 - {x} ) ( 1 - \frac{2}{\sqrt{2 {x} - 1}} ) {e}^{- {x}}$

可得$f^{\prime} \left( x \right) = 0$时，x=1 或${\frac{5}{2}} ,$，

当$\frac{1}{2} < x < 1$时，${f^{\prime}} \left( {x} \right) < 0 , {f} \left( {x} \right)$递减；

当$1 < x < \frac{5}{2}$时，${f^{\prime}} \mathrm{\left( \right.} ) > 0 , \mathrm{f} \mathrm{\left( \right.} )$递增；

当$x > \frac{5}{2}$时，${f^{\prime}} \left( {x} \right) < 0 , {f} \left( {x} \right)$递减，

且$x \geq \sqrt{2 x - 1} \Leftrightarrow x^{2} \geq 2 x - 1 \Leftrightarrow \mathrm{( x - 1 )}^{2} \geqslant 0$

则$f ( \em x ) \beta \geqslant 0$

由$f ( \frac{1}{2} ) = \frac{1}{2}{e}^{- \frac{1}{2}} ;$，f（1）=0，f$( {\frac{5}{2}} ) = {\frac{1}{2}}{e}^{- {\frac{5}{2}}} ,$

即有f（x）的最大值为$\frac{1}{2} e^{\ - \frac{1}{2}}$，最小值为${f} ( 1 ) {=} 0$

则f（x）在区间$[{\frac{1}{2}} , \ + \infty )$上的取值范围是[0，$\frac{1}{2}{e}^{\mathrm{\alpha - \frac{1}{2}}}]$