浙江 2017 · 数学 q19

题面

19．（15 分）如图，已知四棱锥$P - A B C D , \bigtriangleup P A D$是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值

（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值

解析

分析

（Ⅰ）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线

为z 轴，建立空间直角系，利用向量法能证明 CE∥平面PAB

（Ⅱ）求出平面PBC 的法向量和$\overrightarrow{\mathrm{C E}} ,$，利用向量法能求出直线CE 与平面 PBC 所成角的正弦值

解答

证明：（Ⅰ）∵四棱锥 P﹣ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，

BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点，

∴以D 为原点，DA为x 轴，DC 为y轴，过 D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角系，

设$P C = A D = 2 D C = 2 C B = 2$

则 C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），$E ( \frac{1}{2} , 0 , \frac{1}{2} )$），A（2，0，0），B（1，1，0），

=（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1），

设平面PAB的法向量$\vec{\Phi}_{\mathrm{{n}}}^{} = {\Phi} ( {x} , {\Lambda} \forall , {\Lambda} z )$

则${\left\{\begin{array}{l l}{\vec{n} \bullet \overrightarrow{\mathrm{P A}} = x - z = 0} \\ {\vec{n} \bullet \overrightarrow{\mathrm{P B}} = y - z = 0} \end{array} \right.}$，取z=1，得$\stackrel{}{\mathrm{{\ r} =}} ( 1 , 1 , 1 )$

$\because \overrightarrow{C E} \cdot \overrightarrow{n} = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = 0$，CE⊄平面 PAB，

$\therefore C E / /$平面 PAB

解：$( \overline{{\mathbb{I}}} ) \overrightarrow{\mathbb{P} \mathbb{C}} = ( {\Pi} - 1 , 1 , {\Pi} - 1 )$，设平面PBC 的法向量$\stackrel{}{\pi} = {( a , b , c )}$

则{\left\{\begin{array}{l l}{\vec{m}} \bullet \overline{{P B}} = b - c = 0 \right.} \\ {\vec{m}} \bullet \overline{{P C}} = - \bar{a} + b - c = 0 \end{array}，取b=1，得$\stackrel{}{\pi} = ( 0 , \ 1 , \ 1 )$

设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，

则\sin \theta = \cos < \overrightarrow{C E}$$\Rightarrow \vert \overrightarrow{\mathrm{n}} \vert = \frac{\vert \overrightarrow{\mathrm{C E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} \vert}{\vert \overrightarrow{\mathrm{C E}} \mathrm{} \vert \bullet \vert \overrightarrow{\mathrm{n}} \vert} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{6}{4}} \bullet \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{6} .

$\therefore$直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$