浙江 2017 · 数学 q18

题面

18．（14分）已知函数$\overline{{{\beta}}} ( {\{x} ) {\beta} = {\{\dot{\alpha} |}{\beta}{x} - {c o s}^{2}{\alpha}{\times} - {\beta}{\sqrt{3}}{\dot{\alpha}}{i n}{\times}{c o s}{\alpha} ( {\alpha}{\times}{\in}{\alpha}{\alpha} )$

（Ⅰ）求$f ( \frac{2 \pi}{3} )$的值

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间

（Ⅰ）求$f ( \frac{2 \pi}{3} )$的值

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间

解析

分析

利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，

（Ⅰ）代入可得：$f ( \frac{2 \pi}{3} )$的值

（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得 f（x）的最小正周期及单调递增区间

解答

解：∵函数{f} ( \lambda x ) = \sin^{2} x - \cos^{2} x - 2 {\sqrt{3}} \sin x \cos x = - {\sqrt{3}} \sin 2 x - \cos 2 x = 2 \sin x$$( 2 x^{+} \frac{7 \pi}{6} )

（Ⅰ）${f} ( {\frac{2 \pi}{3}} ) = 2 {\sin} ( 2 \times{\frac{2 \pi}{3}} + {\frac{7 \pi}{6}} ) = 2 {\sin}{\frac{5 \pi}{2}} = 2 ,$

（Ⅱ）∵ω=2，故 T=π，

即f（x）的最小正周期为π，

由$2 x + \frac{7 \pi}{6} \in[- \frac{\pi}{2} + 2 k \pi , \frac{\pi}{2} + 2 k \pi] , k \in z$得：

$x \in[- \frac{5 \pi}{6} + k \pi , - \frac{\pi}{3} + k \pi]$，k∈Z，

故f（x）的单调递增区间为$[- \frac{5 \pi}{6} + k \pi , - \frac{\pi}{3} + k \pi]$，k∈Z