浙江 2017 · 数学 q17

题面

17．（4 分）已知$a \in R$，函数$f ( x ) = \lvert \times \rvert \frac{4}{x} - a \lvert + a$在区间[1，4]上的最大值是 5，则a 的取值范围是

答案

$( - \infty , \frac{9}{2} )$

解析

分析

通过转化可知$| x + \frac{4}{x} - a | + a$≤5 且 a≤5，进而解绝对值不等式可知2 a - 5$$\leqslant x + \frac{4}{5} \leqslant 5，进而计算可得结论

解答

解：由题可知$| x + \frac{4}{x} - a | + a \leq 5$，即$| x + \frac{4}{x} - a | \leq 5 - a$，所以$a \leqslant 5$

又因为$| x + \frac{4}{x} - a | \leq 5 - a$

所以$a - 5 \leq x + \frac{4}{x} - a \leq 5 - a$

所以$2 a - 5 \leqslant x + \frac{4}{x} \leqslant 5$

又因为1 {\leqslant} \times{\leqslant} 4$$4 \leqslant x + \frac{4}{\underline{{x}}} \leqslant 5

所以$2 a - 5 \leqslant 4$，解得$a {\leqslant} \frac{9}{2} ;$

故答案为：$( - \infty , \frac{9}{2} )$