浙江 2017 · 数学 q05

题面

5．（5分）若函数${f} ( {x} ) {=}{x}^{2}{+}{a x}{+}{b}$在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（ ） A．与a 有关，且与b 有关 B．与a有关，但与b 无关 C．与a 无关，且与b 无关 D．与a 无关，但与b 有关

答案

B

解析

分析

结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b 的关系，综合可得答案

解答

解：函数${f} \left( {x} \right) = x^{2} + a x + b$的图象是开口朝上且以直线$x = - \frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，

①当$- \frac{a}{2} > 1$或$- \frac{a}{2} < 0$，即${a} < - 2$，或$a > 0$时，

函数f（x）在区间[0，1]上单调，

此时$M - m = | f ( 1 ) - f ( 0 ) | = | a |$，

故M﹣m的值与a 有关，与b 无关

②当$\frac{1}{2} \leq - \frac{a}{2} \leqslant 1$，即$- \ 2 {\leqslant}{a}{\leqslant}{\mathrm{-}} 1$时，

函数f（x）在区间$[0 , - \frac{a}{2}]$上递减，在$[- \frac{a}{2} , 1]$上递增，

且$f ( 0 ) > f ( 1 )$，

此时$M - m = f ( 0 ) - f ( - \frac{a}{2} ) = \frac{a^{2}}{4}$，

故M﹣m的值与a 有关，与b 无关

③当$0 {\leqslant} - \frac{a}{2}{<} \frac{1}{2}$，即$- 1 < a \leqslant 0$时，

函数f（x）在区间$[0 , - \frac{a}{2}]$上递减，在$[- \frac{a}{2} , 1]$上递增，

且$f ( 0 ) < f ( 1 )$，

此时$M - m = f ( 0 ) - f ( - \frac{a}{2} ) = a - \frac{a^{2}}{4}$，

故M﹣m的值与a 有关，与b 无关

综上可得：M﹣m的值与a 有关，与b 无关

故选：B