浙江 2016 · 数学 q19

题面

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆C：$\frac{x}{a^{2}} y^{2}{=} 1 \ \left( {a}{>} 1 \right)$

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围

解析

分析

（Ⅰ）联立直线$y = k x + 1$与椭圆方程，利用弦长公式求解即可

（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围

解答

解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l l}{y = \ker x + 1} \\ {{\frac{x^{2}}{a^{2}}} + y^{2} = 1} \end{array} \right.$，可得：$( 1 + a^{2} k^{2} ) \ x^{2} + 2 k a^{2} x {=} 0$

得 x₁=0 或$\mathrm{x}_{2} \mathrm{=} \frac{- 2 \mathrm{k} \mathrm{a}^{2}}{1 \mathrm{+} \mathrm{k}^{2} \mathrm{\bar{a}}^{2}} ,$

直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：$\sqrt{1 + \operatorname{k}^{2}} \mid x_{1} - x_{2} \mid \frac{- 2 \bar{a}^{2} \mid k \mid}{1 + \bar{a}^{2} k^{2}} \sqrt{1 + k^{2}} .$

（Ⅱ）假设圆A与椭圆由4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足$| A P | {=} | A Q |$

记直线AP，AQ的斜率分别为：k₁，k₂；且k₁，k₂＞0，k₁≠k₂，由（1）可知

$\mathrm{|AP| = \frac{2a^{2} |k_{1} | \sqrt{1 + k_{1}^{2}}}{1 + a^{2} k_{1}^{2}}, \mathrm{|AQ| = \frac{2a^{2} |k_{2} | \sqrt{1 + k_{2}^{2}}}{1 + a^{2} k_{2}^{2}} ,}}$

故：$\frac{2 \bar{a}^{2} \vert k_{1} \vert \sqrt{1 + k_{1}^{\ 2}}}{1 + \bar{a}^{2} k_{1}^{\ 2}}{=} \frac{2 \bar{a}^{2} \vert k_{2} \vert \sqrt{1 + k_{2}^{\ 2}}}{1 + \bar{a}^{2} k_{2}^{\ 2}} ,$所以，$( {{k}}_{1}^{2} - {{k}}_{2}^{2} ) [1 + {{k}}_{1}^{2} + {{k}}_{2}^{2} + {{a}}^{2} ( 2 - {{a}}^{2} )$

${k}_{1} \mathrm{}^{2}{k}_{2} \mathrm{}^{2}] = 0$，由$k_{1} \neq k_{2}$

k₁，k₂＞0，可得：$1 + k_{1}{}^{2} + k_{2}{}^{2} + a^{2} ( 2 \varepsilon - a^{2} ) k_{1}{}^{2} k_{2}{}^{2} = 0$

因此$( \frac{1}{{k}_{1}}^{2} + 1 ) ( \frac{1}{{k}_{2}}^{2} + 1 ) = 1 + {a}^{2} ( {a}^{2} - 2 )$①，

因为①式关于k ，k ；的方程有解的充要条件是：$1 + a^{2} \ ( a^{2} - 2 ) \ > 1$

所以$a {>} \sqrt{2}$

因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1 {<} a {<} 2$$\mathrm{e}{=} \frac{\bar{c}_{-}}{\bar{a}} \frac{\sqrt{\bar{a}^{2} - 1}}{\bar{a}}得，所求离心率的取值范围是：$0 < e^{\infty} \frac{\sqrt{2}}{2}$