浙江 2016 · 数学 q16

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2016 · 数学 q16 原卷截图（含答案）

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题面

16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB⁡b + c = 2 \operatorname{a c o s B}

（Ⅱ）若△ABC的面积S=a24,{\mathrm{S}}{=} \frac{a^{2}}{4} ,求角A的大小

解析

分析

（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B

（Ⅱ）若△ABC的面积S=a24,\mathrm{S}{=} \frac{a^{2}}{4} ,则12bcsinA=a24,\frac{1}{2} \mathrm{b c s i n A =} \frac{a^{2}}{4} ,，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小

解答

（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB\because b + c = 2 a c o s B

∴sin⁡B+sin⁡C=2sin⁡Acos⁡B,\therefore \sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B,

∴sin⁡B+sin⁡(A+B)=2sin⁡Acos⁡B\therefore \sin B + \sin (A + B) = 2 \sin A \cos B

∴sin⁡B=2=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B=sin⁡(A−B)\therefore \sin B = 2 = \sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin (A - B)

∵A，B是三角形中的角，

∴A=2B；

（Ⅱ）解：∵△ABC\because \triangle \mathrm{A B C}的面积{\mathrm{S}}{=} \frac{a^{2}}{4} ,$$\therefore \frac{1}{2} \vert \arcsin A = \frac{\bar{a}^{2}}{4} ,$$\therefore 2 {\mathrm{b c s i n A}} = a^{2}$$\therefore 2 \mathrm{s i n B s i n C = s i n A = s i n 2 B} ,$$\therefore \sin C {=} \cos B ,

∴B+C=90°，或C=B+90∘\mathrm{C = B + 9 0^{\circ}}

∴A=90∘\therefore A {=} 9 0^{\circ}或 A=45°