浙江 2016 · 数学 q14

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2016 · 数学 q14 原卷截图（含答案）

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题面

14．（4 分）（2016•浙江）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面 ABC 外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是

答案

12.{\frac{1}{2}} .

解析

分析

由题意，ΔABD≅ΔPBD\Delta \mathrm{A B D} \cong \Delta \mathrm{P B D}，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大

解答

解：如图，M是AC的中点

①当AD=t<AM=3H⋅J\mathrm{A D}{=} \mathrm{t}{<} \mathrm{A M}{=} \sqrt{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{J}，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图

中 AE，

DM=3−t\mathrm{D M =} \sqrt{3} - \mathrm{t}，由ΔADE∼ΔBDM\Delta A \mathrm{D E} \sim \Delta \mathrm{B D M}，可得h1=1 (3−t)2+1,:⋅h=1 (3−t)2+1,\frac{h}{1} = \frac{1}{\sqrt{\ ( \sqrt{3} - t ) {}^{2} + 1}} , : \cdot h = \frac{1}{\sqrt{\ ( \sqrt{3} - t ) {}^{2} + 1}} ,

V=13⋅12⋅(23−t)⋅1⋅t(3−t)2+1=16⋅3−(3−t)2(3−t)2+1,t∈(0,3)\mathrm{V} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{3} - t) \cdot 1 \cdot \frac{t}{\sqrt{(\sqrt{3} - t)^{2} + 1}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3 - (\sqrt{3} - t)^{2}}{\sqrt{(\sqrt{3} - t)^{2} + 1}}, \mathrm{t} \in (0, \sqrt{3})

②当AD=t>AM=3H⋅j_{\mathrm{A D = t} > \mathrm{A M =} \sqrt{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{j}}，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图

中 AH，

DM=t−3,{\mathrm{D M}}{=}{\mathrm{t}} - {\sqrt{3}} ,，由等面积，可得12∙AD∙BM=12∙BD∙AH,∴12∙t∙1=12Ψ(t−3)Ψ2+1,\frac{1}{2} \bullet \mathbb{A} \mathbb{D} \bullet \mathbb{B} \mathbb{M} = \frac{1}{2} \bullet \mathbb{B} \mathbb{D} \bullet \mathbb{A} \mathbb{H} , \therefore \frac{1}{2} \bullet \mathfrak{t} \bullet \mathbb{1} = \frac{1}{2} \sqrt{\mathrm{\Psi} ( \mathfrak{t} - \sqrt{3} ) \mathrm{\Psi}^{2} + 1} ,

t∴h=√(√3-t) 2+1

∴V=13⋅12⋅(23−t)⋅1⋅t(3−t)2+1−16⋅3−(3−t)2(3−t)2+1,t∈(3,23)\therefore \mathrm{V} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (2 \sqrt{3} - \mathrm{t}) \cdot 1 \cdot \frac{\mathrm{t}}{\sqrt{(\sqrt{3} - \mathrm{t})^{2} + 1} - \frac{1}{6}} \cdot \frac{3 - (\sqrt{3} - \mathrm{t})^{2}}{\sqrt{(\sqrt{3} - \mathrm{t})^{2} + 1}}, \mathrm{t} \in (\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})

综上所述，V=16∙3−(3−t)2(3−t)2+1,t∈(0,23)\mathrm{V}{=} \frac{1}{6}{\bullet} \frac{3 - \mathrm{(} \sqrt{3} - \mathrm{t} ) \mathrm{}^{2}}{\sqrt{\mathrm{(} \sqrt{3} - \mathrm{t} ) \mathrm{}^{2} + 1}} , \mathrm{t}{\in} \mathrm{(} 0 , 2 \sqrt{3} )

令m=(3−t)2+1m = \sqrt{( \sqrt{3} - t )^{2} + 1}∈[1，2），则V=16⋅4− m2 m,  m=1\mathrm{V}{=} \frac{1}{6}{\cdot} \frac{4 - \mathrm{\ m}^{2}}{\mathrm{\ m}} , \ \mathrm{\ m}{=} 1时，Vmax=12.\mathrm{{V}_{m a x}} \mathrm{{=}}{\frac{1}{2}} .故答案为：12.{\frac{1}{2}} .