浙江 2016 · 数学 q12

题面

12．（6分）（2016•浙江）已知$a {\mathrm{> b}}{\mathrm{>}} 1$，若$\log_{a} 6 + \log_{6} a = {\frac{5}{2}} , a^{b} = b^{a}$，则 a=b=

答案

4；2

解析

分析

设t=log_ba并由条件求出t的范围，代入$\log_{\mathrm{a}}{b} + \log_{b}{a} = {\frac{5}{2}}{1}$化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入$a^{b} \mathrm{= b}^{a}$化简后列出方程，求出a、b的值

解答

解：设$t = l o g_{\mathrm{b}} a$，由$a {\mathrm{> b}}{\mathrm{> 1}}$知$\mathrm{t} > 1$

代入$\log_{a} b + \log_{b} a = \frac{5}{2} / \frac{\Xi}{1 +} + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} ,$

即$2 \mathrm{t}^{2} - 5 \mathrm{t} + 2 {=} 0$，解得t=2或$\mathrm{t}{=} \frac{1}{2}$（舍去），

所以$\log_{\mathrm{b}} \mathrm{a} = 2$，即$a \mathrm{=} b^{2}$

因为$a^{b} \mathrm{=} b^{a}$，所以$b^{2 b} \mathrm{= b}^{a}$，则$a = 2 b = b^{2}$

解得$b {=} 2 , a {=} 4$

故答案为：4；2