浙江 2016 · 数学 q03

题面

3．（5分）（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域$\left\{\begin{array}{l l}{x - 2 \ll 0} \\ {\qquad x + y \approx 0} \\ {\qquad x - 3 y + 4 \lambda \gg 0} \end{array} \right.$中的点在直线$\mathrm{x + y} - 2 \mathrm{=} 0$上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（A$2 \sqrt{2}$B．4C$3 \sqrt{2}$D．6

答案

C

解析

分析

作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可

解答

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），

区域内的点在直线$\mathrm{x + y} - 2 \mathrm{=} 0$上的投影构成线段$\mathrm{R^{\prime}} \mathrm{Q^{\prime}}$，即 SAB，

而$\mathrm{R^{\prime} Q^{\prime} \mathrm{=} R Q}$

由$\left\{\begin{array}{l l}{x - 3 y + 4 = 0} \\ {x + y = 0} \end{array} \right.$得$\left\{{x} = - 1 \atop{y} = 1 \right.$，即${\mathrm{Q}} ( {\mathrm{-}} 1 , {\mathrm{}} 1 )$

由${\left\{\begin{array}{l l}{x = 2} \\ {x + y = 0} \end{array} \right.}$得${\left\{\begin{array}{l l}{x = 2} \\ {y = - 2} \end{array} \right.}$，即R（2，﹣2），

则$| \mathrm{A B} | = | \mathrm{Q R} | = \sqrt{( - 1 - 2 )^{2} + ( 1 + 2 )^{2}} = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2} .$

故选：C