浙江 2014 · 数学 q18

题面

三. 解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分 14 分）

在 $\triangle ABC$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $a\neq b,c=\sqrt{3}\cos^{2}A-\cos^{2}B=\sqrt{3}\sin A\cos A-\sqrt{3}\sin B\cos B$

(I) 求角 C 的大小;

（II）若 $\sin A = \frac{4}{5}$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积.

解析

：（I）由题得 $\frac{1 + \cos 2A}{2} -\frac{1 + \cos 2B}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2A - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2B$ ，

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 A - \frac{1}{2} \cos 2 A = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 B - \frac{1}{2} \cos 2 B$

$\sin (2 A - \frac{\pi}{6}) = \sin (2 B - \frac{\pi}{6})$

由 $a \neq b$ 得 $A \neq B$ ，又 $A + B \in (0, \pi)$ ，得 $2A - \frac{\pi}{6} + 2B - \frac{\pi}{6} = \pi$

即 $A + B = \frac{2\pi}{3}$ ，所以 $C = \frac{\pi}{3}$

(II) $c = \sqrt{3}$, $\sin A = \frac{4}{5}$, $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$, 得 $a = \frac{8}{5}$

由 $a < c$ 得 $A < C$ ，从而 $\cos A = \frac{3}{5}$ 故 $\sin B = \sin (A + C)$

$= \sin A\cos C + \cos A\sin C = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{10}$
所以，$\triangle ABC$ 的面积为 $S = \frac{1}{2} ac\sin B = \frac{8\sqrt{3} + 18}{25}$