浙江 2014 · 数学 q16

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浙江 2014 · 数学 q16 原卷截图（含答案）

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题面

  1. 设直线 x−3y+m=0(m≠0)x - 3y + m = 0 (m \neq 0) 与双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0) 两条渐近线分别交于点 A，B. 若点 P(m,0)P(m,0) 满足 ∣PA∣=∣PB∣|PA| = |PB|，则该双曲线的离心率是 ____

设 AB 中点为 Q，由 ∣PA∣=∣PB∣\left|PA\right|=\left|PB\right| 得，则

Q(−ama−3b+−ama+3b2,−bma−3b+bma+3b2)Q (\frac{\frac{- a m}{a - 3 b} + \frac{- a m}{a + 3 b}}{2}, \frac{\frac{- b m}{a - 3 b} + \frac{b m}{a + 3 b}}{2})

即 Q(−a2ma2−9b2,−3b2ma2−9b2)Q(-\frac{a^2m}{a^2 - 9b^2}, - \frac{3b^2m}{a^2 - 9b^2}) ，PQ与已知直线垂直，

∴kPQ⋅kl=−1\therefore k_{PQ} \cdot k_l = -1 ，即 −3b2ma2−9b2−a2ma2−9b2−m⋅13=−1\frac{-\frac{3b^2m}{a^2 - 9b^2}}{-\frac{a^2m}{a^2 - 9b^2} - m} \cdot \frac{1}{3} = -1 即得

2a2=8b22a^{2}=8b^{2} ，即 2a2=8(c2−a2)2a^{2}=8(c^{2}-a^{2}) ，即 c2a2=54\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{4} ，所以 e=ca=52e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}

【解析2】不妨设 a=1a = 1 ，渐近线方程为 x212−y2b2=0\frac{x^2}{1^2} -\frac{y^2}{b^2} = 0 即 b2x2−y2=0b^{2}x^{2} - y^{2} = 0

{b2x2−y2=0x−3y+m=0\left\{\begin{array}{l} b^{2} x^{2} - y^{2} = 0 \\ x - 3 y + m = 0 \end{array} \right.

(9b2−1)y2−6b2my+b2m=0(9 b^{2} - 1) y^{2} - 6 b^{2} m y + b^{2} m = 0

设 AB 中点为 Q(x0,y0)Q(x_{0}, y_{0}) ，由韦达定理得： y0=3b2m9b2−1y_{0} = \frac{3b^{2}m}{9b^{2}-1} ……①，

又 x0=3y0−mx_0 = 3y_0 - m ，由 kPQ⋅kl=−1k_{PQ} \cdot k_l = -1 得 y0x0−m⋅13=−1\frac{y_0}{x_0 - m} \cdot \frac{1}{3} = -1 即得 y03y0−2m⋅13=−1\frac{y_0}{3y_0 - 2m} \cdot \frac{1}{3} = -1 得 y0=35my_0 = \frac{3}{5} m 代入①得 3b2m9b2−1=35m\frac{3b^2m}{9b^2 - 1} = \frac{3}{5} m

得 b2=14b^{2}=\frac{1}{4} ，所以 c2=a2+b2=1+14=54c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} ，所以 c=52c=\frac{\sqrt{5}}{2} ，得 e=ca=c=52e=\frac{c}{a}=c=\frac{\sqrt{5}}{2}

答案

52\frac{\sqrt{5}}{2}