浙江 2014 · 数学 q13

题面

13.当实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array} \right.$ 时，$1 \leq ax + y \leq 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ____.

答案

$[1, \frac{3}{2}]$

【解析 2】作出不等式组 $\left\{\begin{aligned} x+2y-4&\leq0 \\ x-y-1&\leq0 \\ x&\geq1\end{aligned}\right.$ 所表示的区域如图，由 $1\leq ax+y\leq4$ 得，由图分析可知， $a\geq0$ 且在 $A(1,0)$ 点取得最小值，在 $B(2,1)$ 取得最大值，故 $\left\{\begin{aligned} a&\geq1 \\ 2a+1&\leq4\end{aligned}\right.$ 得 $1\leq a\leq\frac{3}{2}$ ，故实数 a 的取值范围是 $[1,\frac{3}{2}]$ ，

解析

作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l} x + 2y - 4 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 1 \end{array} \right.$ 所表示的区域如图，由 $1 \leq ax + y \leq 4$ 恒成立，故 $A(1,0), B(2,1), C(1, \frac{3}{2})$ 三点坐标代入

$1 \leq ax + y \leq 4$，均成立得 $\left\{\begin{array}{l} 1 \leq a \leq 4 \\ 1 \leq 2a + 1 \leq 4 \\ 1 \leq a + \frac{3}{2} \leq 4 \end{array} \right.$ 解得 $1 \leq a \leq \frac{3}{2}$，$\therefore$ 实数 $a$ 的取值范围是 $[1, \frac{3}{2}]$，