浙江 2014 · 数学 q08

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2014 · 数学 q08 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 记 max⁡{x,y}={x,x≥yy,x<y\max\{x,y\}=\left\{\begin{aligned}x,x\geq y\\ y,x<y\end{aligned}\right. , min⁡{x,y}={y,x≥yx,x<y\min\{x,y\}=\left\{\begin{aligned}y,x\geq y\\ x,x<y\end{aligned}\right. ，设 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} 为平面向量，则（）

A. min⁡{∣a⃗+b⃗∣,∣a⃗−b⃗∣}≤min⁡{∣a⃗∣,∣b⃗∣}\min\{| \vec{a}+\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|\} \leq \min\{| \vec{a}|,|\vec{b}|\}

B. min⁡{∣a⃗+b⃗∣,∣a⃗−b⃗∣}≥min⁡{∣a⃗∣,∣b⃗∣}\min\{| \vec{a}+\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|\} \geq \min\{| \vec{a}|,|\vec{b}|\}

C. max⁡{∣a⃗+b⃗∣2,∣a⃗−b⃗∣2}≤∣a⃗∣2+∣b⃗∣2\max\{| \vec{a}+\vec{b}|^{2},|\vec{a}-\vec{b}|^{2}\} \leq |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}

D. max⁡{∣a⃗+b⃗∣2,∣a⃗−b⃗∣2}≥∣a⃗∣2+∣b⃗∣2\max\{| \vec{a}+\vec{b}|^{2},|\vec{a}-\vec{b}|^{2}\} \geq |\vec{a}|^{2} + |\vec{b}|^{2}

答案

D

解析

由向量运算的平行四边形法可知 min⁡{∣a⃗+b⃗∣,∣a⃗−b⃗∣}\min \{\mid \vec{a} +\vec{b}\mid ,\mid \vec{a} -\vec{b}\mid \} 与 min⁡{∣a⃗∣,∣b⃗∣}\min \{\mid \vec{a}\mid ,\mid \vec{b}\mid \} 的大小不确定，平行四边形法可知 max⁡{∣a⃗+b⃗∣,∣a⃗−b⃗∣}\max \{\mid \vec{a} +\vec{b}\mid ,\mid \vec{a} -\vec{b}\mid \} 所对的角大于或等于 90∘90^{\circ} ，由余弦定理知 max⁡{∣a⃗+b⃗∣2,∣a⃗−b⃗∣2}≥∣a⃗∣2+∣b⃗∣2,\max \{\mid \vec{a} +\vec{b}\mid^2,\mid \vec{a} -\vec{b}\mid^2\} \geq \mid \vec{a}\mid^2 +\mid \vec{b}\mid^2,

max⁡{∣a⃗+b⃗∣2,∣a⃗−b⃗∣2}≥∣a⃗+b⃗∣2+∣a⃗−b⃗∣22=2(∣a⃗∣2+∣b⃗∣2)2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2)\max \left\{\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^{2}, \left| \vec{a} - \vec{b} \right|^{2} \right\} \geq \frac{\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^{2} + \left| \vec{a} - \vec{b} \right|^{2}}{2} = \frac{2 \left(\left| \vec{a} \right|^{2} + \left| \vec{b} \right|^{2}\right)}{2} = \left| \vec{a} \right|^{2} + \left| \vec{b} \right|^{2})