浙江 2013 · 数学 q22

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2013 · 数学 q22 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 官方解析）

题面

22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3\mathrm{f} \left( x \right) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 a x - 3 a + 3

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值

2013 年浙江省高考数学试卷（理科）

（1）求曲线y=f (x)y {=} f \ \left( x \right)在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值

解析

分析

（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程；

（2）求出原函数的导函数，分a≤0,0<a<1,a≥1a \leq 0 , 0 {<} a {<} 1 , a {\geq} 1三种情况求|f（x）|的最大值．特别当0<a<10 {<} a {<} 1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小

解答

解：（1）因为f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3\mathrm{f} \left( x \right) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 a x - 3 a + 3，所以f′(x)=3x2−6x+3af^{\prime} \left( x \right) = 3 x^{2} - 6 x + 3 a

故f′(1)=3a−3f^{\prime} \left( 1 \right) = 3 a - 3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=(3a−3)x−3a+4y = ( 3 a - 3 ) x - 3 a + 4

（2）由于f′(x)=3(x−1)2+3(a−1), 0≤x≤2f^{\prime} ( x ) = 3 ( x - 1 )^{2} + 3 ( a - 1 ) , \ 0 \le x \le 2

故当a≤0时，有f′(x)≤0f^{\prime} ( x ) \leq 0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故

|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a

当a≥1时，有f′(x)≥0f^{\prime} ( x ) \ge 0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故

|f(x)∣max=max{∣f(0)∣,∣f(2)∣}=3a−1( x ) |_{\mathrm{m a x}} = \mathrm{m a x} \{| f ( 0 ) | , | f ( 2 ) | \} = 3 a - 1

当0<a<10 {<} a {<} 1时，由3(x−1)2+3(a−1)=03 ( x - 1 )^{2} + 3 ( a - 1 ) = 0，得x1=1−1−a,x2=1+1−ax_{1} = 1 - \sqrt{1 - a} , x_{2} = 1 + \sqrt{1 - a}

所以，当x∈(0, x1)x \in ( 0 , \ x_{1} )时，f′(x)>0f^{\prime} ( x ) > 0，函数f（x）单调递增；

当x∈ (x1,x2)x \in \ ( x_{1} , x_{2} )时，f′(x)<0f^{\prime} ( x ) < 0，函数f(x)f ( x )单调递减；

当x∈ (x2,2)x \in \ ( x_{2} , 2 )时，f′(x)>0f^{\prime} ( x ) > 0，函数f（x）单调递增

所以函数f（x）的极大值f(x1)=1+2(1−a)1−af ( x_{1} ) = 1 + 2 ( 1 - a ) \sqrt{1 - a}，极小值f(x2)=1−2(1−a)1−af ( x_{2} ) = 1 - 2 ( 1 - a ) \sqrt{1 - a}

故 f（x1）+f（x2）=2＞0，

从而f(x1)>∣f(x2)∣f \left( x_{1} \right) > \left| f \left( x_{2} \right) \right|

所以|f(x)∣max=max{f(0), ∣f(2)∣, f(x1)}( x ) |_{\mathrm{m a x}} = \mathrm{m a x} \{f ( 0 ) , \ | f ( 2 ) | , \ f ( x_{1} ) \}

当0<a<230 {<} \mathrm{a}{<} \frac{2}{3}时，f(0)>∣f(2)∣{f} ( 0 ) > \mid{f} ( 2 ) {} \mid

又f(x1)−f(0)=2(1−a)1−a−(2−3a)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+2−3a>0\text{又} f (x_{1}) - f (0) = 2 (1 - a) \sqrt{1 - a} - (2 - 3 a) = \frac{a^{2} (3 - 4 a)}{2 (1 - a) \sqrt{1 - a} + 2 - 3 a} > 0

故∣f(x)∣max=f(x1)=1+2(1−a)1−a\left| f \left( x \right) \right|_{m a x} = f \left( x_{1} \right) = 1 + 2 \left( 1 - a \right) \sqrt{1 - a}

当23⩽a<1\frac{2}{3} \leqslant a < 1时，∣f(2)∣=f(2)| f ( 2 ) | = f ( 2 )，且f(2)≥f(0)f ( 2 ) \geq f ( 0 )

又f(x1)−∣f(2)∣=2(1−a)1−a−(3a−2)=a2(3−4a)2(1−a)1−a+3a.\text{又} f \left(x_{1}\right) - | f (2) | = 2 (1 - a) \sqrt{1 - a} - (3 a - 2) = \frac{a^{2} (3 - 4 a)}{2 (1 - a) \sqrt{1 - a} + 3 a}.

所以当23≤a<34\frac{2}{3} \leq a < \frac{3}{4}时，f(x1)>∣f(2)∣{\mathrm{f}} \left( x_{1} \right) > \mid{\mathrm{f}} \left( 2 \right) \mid

故f(x)max=f(x1)=1+2(1−a)1−a\mathrm{f} \left( \mathrm{x} \right)_{\mathrm{m a x}} = \mathrm{f} ( \mathrm{x}_{1} ) = 1 + 2 ( 1 - \mathrm{a} ) \sqrt{1 - \mathrm{a}}

当34⩽a<1\frac{3}{4} \leqslant a < 1时，f(x1)≤∣f(2)∣\mathrm{f} \left( x_{1} \right) \leq \left| \mathrm{f} \left( 2 \right) \right|

故f(x)max=∣f(2)∣=3a−1\mathrm{f} \left( x \right)_{\mathrm{m a x}} = | \mathrm{f} ( 2 ) | = 3 a - 1

综上所述|f(x)∣max={3−3a,a⩽01+2(1−a)1−a,0<a<343a−1,a⩾34{f} ( {x} ) |_{\mathrm{m a x}} = \begin{cases} 3 - 3 a , & a \leqslant 0 \\ 1 + 2 ( 1 - a ) \sqrt{1 - a} , & 0 < a < \frac{3}{4} \\ 3 a - 1 , & a \geqslant \frac{3}{4} \end{cases}