浙江 2013 · 数学 q18

题面

18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列$\{a_{\mathrm{n}} \}$中，已知$a_{1}{=} 1 0$，且 a₁，2a₂+2，${5}{{a}}_{3}$成等比数列

（Ⅰ）求 d，a_n；

（Ⅱ） 若${\mathrm{d}}{<} 0$，求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

（Ⅰ）求d，${a_{n}} ;$

（Ⅱ） 若${\mathrm{d}}{<} 0$，求$\left| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + . . . . + | a_{\mathrm{n}} | \right.$

解析

分析

（Ⅰ）直接由已知条件$a_{1}{=} 1 0$，且a₁，$2 a_{2} + 2$，5a₃成等比数列列式求出公差，则通项公式$a n$可求；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列$\{a_{\mathrm{n}} \}$的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求$d < 0$时$\lvert a_{1} \rvert + \lvert a_{2} \rvert + \lvert a_{3} \rvert + . . . + \lvert a_{\mathrm{n}} \rvert$的和

解答

解：（Ⅰ）由题意得$5 a_{3} \bullet a_{1} = ( 2 a_{2} + 2 )^{2}$，即$5 ( a_{1} + 2 d ) \bullet a_{1} = ( 2 a_{1} + 2 d + 2 )^{2}$，整理得${\mathrm{d}}^{2} - 3 {\mathrm{d}} -$4=0．解得 d=﹣1 或 d=4

当d=﹣1时，$\mathrm{a_{n}} = \mathrm{a_{1}} + ( n - 1 ) \mathrm{d} = 1 0 - ( n - 1 ) = - n + 1 1$

当 d=4 时，$\mathrm{a_{n}{=} a_{1}{+} \ ( {\ n - \ 1} ) \ d {=} 1 0 {+} 4 \ ( {\ n - \ 1} ) \ = 4 n {+} 6 .}$

所以$a_{\mathrm{n}}{=} - n {+} 1 1$或$a_{\mathrm{n}} = 4 \mathrm{n} + 6 \ ;$；

（Ⅱ）设数列$\{a_{\mathrm{n}} \}$的前n项和为$\mathrm{S_{n}} ;$，因为d＜0，由（Ⅰ）得$\mathrm{{d} = - \ 1 , \ a_{n} = - \ n + 1 1}$

则当 n≤11 时，$| a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \cdots + | a_{n} | = S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + \frac{2 1}{2} n$

当 n≥12 时，$| \mathrm{a}_{1} | + | \mathrm{a}_{2} | + | \mathrm{a}_{3} | + . . . + | \mathrm{a}_{\mathrm{n}} | = - \mathrm{S}_{\mathrm{n}} + 2 \mathrm{S}_{1 1} = \frac{1}{2} \mathrm{n}^{2} - \frac{2 \mathrm{1} \mathrm{n}}{2} + 1 1 0$

综上所述，

|a₁|+|a₂|+$| a_{3} | + . . . + | a_{\mathrm{n}} | = \left\{\begin{array}{l l}{- \frac{1}{2} \mathrm{n}^{2} + \frac{2 1}{2} \mathrm{n} , \mathrm{n} \leqslant 1 1} \\ {\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2} - \frac{2 1}{2} \mathrm{n} + 1 1 0 , \mathrm{n} \geqslant 1 2} \end{array} \right. .$