浙江 2013 · 数学 q16

题面

16．（4 分）（2013•浙江）△ABC 中，$\angle C {=} 9 0^{\circ}$，M是BC的中点，若$\sin \angle B A M = \frac{1}{3} ,$则$\mathrm{s i n \angle B A C =}$

答案

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

解析

分析

作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得$\sin \angle A \mathrm{M B} = \frac{2 c}{3 a} ,$进而可得$\cos \beta{=} \frac{2 c}{3 a} ,$在 RT△ACM中，还可得$\cos \beta = \frac{b}{\sqrt{( \frac{a}{2} )^{2} + b^{2}}} ,$建立等式后可得$\mathrm{a}{=} \sqrt{2} \mathrm{b}$，再由勾股定理可得$c {=} \sqrt{3} b$，而$\sin \angle B A C = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{c} ,$代入化简可得答案

解答

解：如图

设 AC=b，AB=c，$\mathrm{C M}{=} \mathrm{M B}{=} \frac{\bar{a}}{2} , \angle M A C {=} \beta$

在△ABM中，由正弦定理可得$\frac{\frac{a}{2}}{\sin \angle B A M} = \frac{c}{\sin \angle A M B} ,$

代入数据可得$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{c}{\sin \angle A M B}$，解得$\sin \angle A M B = \frac{2 c}{3 a} ,$

故$\cos \beta = \cos \mathrm{(} \frac{\pi}{2} - \angle \mathrm{A M C )} = \sin \angle \mathrm{A M C = \sin ( \pi - \angle A M B )} = \sin \angle \mathrm{A M B = \frac{2 c}{3 a} ,}$

而在 RT△ACM 中，$\cos \beta = \frac{A C}{A M} = \frac{b}{\sqrt{( \frac{a}{2} )^{2} + b^{2}}} ,$

故可得$\frac{b}{\sqrt{( \frac{a}{2} )^{2} + b^{2}}} = \frac{2 c}{3 a}$，化简可得$a^{4} - 4 a^{2} b^{2} + 4 b^{4} = \left( a^{2} - 2 b^{2} \right) = 0$

解之可得$\mathrm{a}{=} \sqrt{2} \mathrm{b}$，再由勾股定理可得$a^{2}{+} b^{2}{=} c^{2}$，联立可得$c {=} \sqrt{3} b$

故在$\mathrm{R T} \triangle \mathrm{A B C}$中，$\sin \angle \mathrm{B A C} = \frac{\mathrm{B C}}{\mathrm{A B}} = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} b}{\sqrt{3} b} = \frac{\sqrt{6}}{3} ,$

故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$