浙江 2013 · 数学 q15

题面

15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：$y^{2} = 4 x$的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若$\mathrm{| F Q} | = 2$，则直线l的斜率等于

答案

不存在

解析

分析

由题意设直线l的方程为$\mathrm{m y = x + 1}$，联立$\left\{{I I y} = x + 1 \right.$得到$\mathrm{y^{2} - 4 m y {+}} 4 \mathrm{-} 0 , \Delta \mathrm{-} 1 6 \mathrm{m^{2}} \cdot 1 6 \mathrm{=} 1 6 ( \mathrm{m^{2}} \cdot 1 ) > 0$．设A$( x_{1} , \ y_{1} ) , B ( x_{2} , \ y_{2} ) , Q ( x_{0} , \ y_{0} )$．利用根与系数的关系可得$y_{1} + y_{2}{=} 4 m$，利用中点坐标公式可得

{y}_{0}{=} \frac{{y}_{1}{+}{y}_{2}}{2}{=} 2 {m}$$x_{0} = m y_{0} \ - \ 1 = 2 {m}^{2} \ - \ 1$$\mathrm{Q} \left( 2 \mathrm{m}^{2} \cdot 1 , \ 2 \mathrm{m} \right)），由抛物线C：$y^{2} = 4 x$得焦点F（1，0）．再利用

两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可

解答

解：由题意设直线l的方程为$\mathrm{m y = x + 1}$，联立$\left\{{I I y}^{=}{x} + 1 \right.$得到$\mathrm{y^{2} - 4 m y {+}} 4 \mathrm{=} 0 \mathrm{,} \Delta \mathrm{=} 1 6 \mathrm{m^{2} -} 1 6 \mathrm{=} 1 6 \mathrm{( m^{2} - 1 )} > 0$设${A}_{\mathrm{}} (_{\mathrm{{x} 1}} , \mathrm{{y} 1} ) , \mathrm{{B}} (_{\mathrm{{x} 2}} , \mathrm{{y} 2} ) , \mathrm{{Q}} (_{\mathrm{{x} 0}} , \mathrm{{y} 0} )$

$\therefore \mathrm{y}_{1} + \mathrm{y}_{2} = 4 \mathrm{m}, \therefore \mathrm{y}_{0} = \frac{\mathrm{y}_{1} + \mathrm{y}_{2}}{2} = 2 \mathrm{m}, \therefore \mathrm{x}_{0} = \mathrm{my}_{0} - 1 = 2 \mathrm{m}^{2} - 1.$

$\therefore \mathrm{Q} (2 \mathrm{m}^{2} - 1, 2 \mathrm{m}),$

由抛物线$\mathrm{C} \colon \mathrm{y}^{2}{=} 4 \mathrm{x}$得焦点F（1，0）

∵|QF|=2，$\therefore \sqrt{( 2 \pi^{2} - 2 )^{2} + ( 2 \pi )^{2}} = 2 \cdot$，化为$\mathrm{m}^{2}{=} 1$，解得m=±1，不满足△＞0

故满足条件的直线l不存在

故答案为不存在