浙江 2013 · 数学 q10

题面

10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记$\mathrm{B = f}_{\pi} \ \left( A \right)$）．设 α，β 是两个不同的平面，对空间任意一点P，\mathrm{Q_{l}{=} f_{\beta}[f_{\alpha} \ ( \Delta P ) \]}，Q₂=f_α[f_β（P）]，恒有$\mathrm{P Q}_{1}{=} \mathrm{P Q}_{2}$，则（ ）A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为$4 5^{\circ}$C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为$6 0^{\circ}$

答案

A

解析

分析

设$\mathrm{P 1}$是点P在α内的射影，点${P}_{2}$是点P在β内的射影．根据题意点$\mathrm{P}_{1}$在β内的射影与$\mathrm{P}_{2}$在α内的射影重合于一点，由此可得四边形$\mathrm{P P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{P}_{2}$为矩形，且$\angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{P}_{2}$是二面角${\mathfrak{a}} - 1 - {\mathfrak{\beta}}$的平面角，根据面面垂直的定义可得平面$\mathfrak{a}$与平面$\beta$垂直，得到本题答案解答： 解：设$\mathrm{P_{1}{=} f_{\alpha} \left( P \right)}$），则根据题意，得点$\mathrm{P 1}$是过点P作平面α垂线的垂足

∵Q₁=f_β[f_α（P）$]{=} \mathrm{f_{B}} \ ( \mathrm{P}_{1} )$

∴点$\mathrm{Q 1}$是过点$\mathrm{P 1}$作平面β垂线的垂足

同理，若$\mathrm{P}_{2}{=} \mathrm{f}_{B} \mathrm{(} \mathrm{P} \mathrm{)}$，得点$\mathrm{P}_{2}$是过点P作平面β垂线的垂足

因此$\mathrm{Q}_{2}{=} \mathrm{f}_{\alpha}[\mathrm{f}_{\beta}{\ :} \left( \mathrm{P} \right)$]表示点$\mathrm{Q}_{2}$是过点$\mathrm{P}_{2}$作平面α垂线的垂足

∵对任意的点P，恒有$\mathrm{P Q}_{1}{=} \mathrm{P Q}_{2}$

∴点$\mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}$重合于同一点

由此可得，四边形$\mathrm{P P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{P}_{2}$为矩形，且$\angle \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{P}_{2}$是二面角α﹣l﹣β的平面角$\because \angle P_{1} Q_{1} P_{2}$是直角，∴平面α与平面β垂直

故选：A