浙江 2013 · 数学 q08

题面

8．（5分）（2013•浙江）已知e为自然对数的底数，设函数$f ( x ) = ( e^{x} - 1 ) ( x - 1 )^{k} ( k = 1 , 2 )$，则（ ）

A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值

答案

C

解析

分析

通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f’（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论

解答

解：当k=2时，函数${f} ( x ) = ( e^{x} - 1 ) ( x - 1 )^{\ 2}$

求导函数可得$f^{\prime} ( x ) = e^{x} ( x - 1 )^{2} + 2 ( e^{x} - 1 ) ( x - 1 ) = ( x - 1 ) ( x e^{x} + e^{x} - 2 )$，∴当 x=1，f′（x）=0，且当$x > 1$时，$f^{\prime} ( x ) > 0$，当$\frac{1}{2} < x < 1$时，$f^{\prime} ( x ) < 0$，故函数f（x）在$( 1 , \ + \infty )$上是增函数；

在$( {\frac{1}{2}} , \ 1 )$上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项

故选 C