浙江 2013 · 数学 q07

题面

7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P 是边AB上一定点，满足$P_{0} B {=} \frac{1}{4} A B$，且对于边AB上任一点P，恒有$\overrightarrow{\mathrm{P B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P C}} \approx \overrightarrow{\mathrm{P_{\mathrm{0}} B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P_{\mathrm{0}} C}}$则（ ） A$\angle \mathrm{A B C}{=} 9 0^{\circ}$ B$\angle \mathrm{B A C}{=} 9 0^{\circ}$ C．AB=ACD．AC=BC

答案

D

解析

分析

以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出$\overrightarrow{\mathbb{P}_{\mathfrak{d}} \mathbb{B}} , \overrightarrow{\mathbb{P} \mathbb{B}} , \overrightarrow{\mathbb{P} \mathbb{C}} , \overrightarrow{\mathbb{P}_{\mathfrak{d}} \mathbb{C}} .$，然后由$\cdot \overrightarrow{P C} \approx \overline{{P_{\mathbb{0}} \mathbb{B}}} \cdot \overline{{\mathbb{P}_{\mathbb{0}} \mathbb{C}}}$结合向量的数量积的 坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断

解答

解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则 BP₀=1，A（﹣2，0），B（2，0），P₀（1，0）$\therefore \overrightarrow{\mathrm{P_{0} \mathrm{B}}}^{=} \left( 1 , \xi_{0} \right) , \overrightarrow{\mathrm{P \mathrm{B}}}^{=} \left( 2 - x , \xi_{0} \right) , \overrightarrow{\mathrm{P \mathrm{C}}}^{=} \left( a - x , \xi b \right) , \overrightarrow{\mathrm{P}_{0} \mathrm{C}}^{=} \left( a - 1 , \xi b \right)$∵恒有\overrightarrow{\mathrm{P B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P C}} \approx \overrightarrow{\mathrm{P}_{\mathbb{0}} \mathbb{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{P}_{\mathbb{0}} \mathbb{C}}$$\therefore ( 2 - x ) ( a - x ) \geq a - 1恒成立整理可得$x^{2} - \phi ( a + 2 \phi ) \phi x + a + 1 \geq 0$恒成立$\therefore \Delta = ( a + 2 )^{2} - 4 ( a + 1 ) \leq 0$即$\Delta = a^{2} \leq 0$

∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D