浙江 2011 · 数学 q22

题面

22、（2011•浙江）设函数$f ( x ) = ( x - a )^{2} \ln x$，a∈R

（Ⅰ）若x=e为$y = f ( x )$的极值点，求实数a；

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的$x \in ( 0 , 3 a]$，恒有$f ( x ) \leq 4 e^{2}$成立

注：e为自然对数的底数

答案

（Ⅰ）若x=e为$y = f ( x )$的极值点，求实数a；

（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的$x \in ( 0 , 3 a]$，恒有$f ( x ) \leq 4 e^{2}$成立

注：e为自然对数的底数

解析

分析

（I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验

（II）对a分类讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于$4 e^{2}$，解不等式求出a的范围

解答

解：（I）求导得$f^{\prime} ( x ) = 2 ( x - a ) \ln x + \frac{( x - a )^{2}}{x} = ( x - a ) ( 2 \ln x + 1 - \frac{a}{x} )$

因为x=e是f（x）的极值点，

所以$f^{\prime} ( e ) = 0$

解得 a=e 或 a=3e

经检验，符合题意，

所以 a=e，或 a=3e

（II）①当0＜3a≤1时，对于任意的实数$x \in ( 0 , 3 a]$，恒有$f ( x ) \leq 0 < 4 e^{2}$成立，即$0 < a \leq \frac{1}{3}$符合题意

②当3a＞1时即$a > \frac{1}{3}$时，由$\textcircled{1}$知，x∈（0，1]时，不等式恒成立，故下研究函数在（1，3a]上的最大值，

首先有$f ( 3 a ) = ( 3 a - a )^{2} \ln 3 a = 4 a^{2} \ln 3 a$此值随着a的增大而增大，故应有

$4 a^{2} \ln 3 a \leq 4 e^{2}$即$a^{2} \ln 3 a \leq e^{2}$

故参数的取值范围是$0 < a \leq \frac{1}{3}$或$a > \frac{1}{3}$且$a^{2} \ln 3 a \leq e^{2}$