浙江 2011 · 数学 q19

题面

19、（2011•浙江）已知公差不为 0 的等差数列$\{a_{n} \}$的首项$a 1$为 a（a∈R）设数列的前 n 项和为$S_{n}$，且$\frac{1}{\alpha_{1}} , \frac{1}{\alpha_{2}} , \frac{1}{\alpha_{4}}$成等比数列

（Ⅰ）求数列$\{a_{n} \}$的通项公式及$S_{n}$；

（Ⅱ）记$A_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \ldots + \frac{1}{S_{n}} , B_{n} = \frac{1}{\alpha_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}} + \ldots + \frac{1}{\alpha_{2}} ,$当a≥2时，试比较$A_{n}$与$B_{n}$的大小

（Ⅰ）求数列$\{a_{n} \}$的通项公式及$S_{n} \mathfrak{s}$；

（Ⅱ）记$A_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \ldots + \frac{1}{S_{n}} , B_{\mathfrak{n}} = \frac{1}{\alpha_{1}} + \frac{1}{\alpha_{2}} + \ldots + \frac{1}{\alpha_{2}} ,$，当a≥2时，试比较$A_{n}$与$B_{n}$的大小

解析

分析

（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的$a_{n}$和$S_{n}$，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理$A_{n} \varleftrightarrows B_{n}$，最后对$a > 0$和$a < 0$两种情况分情况进行比较

解答

解：（Ⅰ）设等差数列$\{a_{n} \}$的公差为d，由$( \frac{1}{a_{2}} ) \^{2} = \frac{1}{a_{1}}{\bullet \frac{1}{a_{4}}} ,$

得$\left( a_{1} + d \right) )^{2} = a_{1} \left( a_{1} + 3 d \right)$），因为d≠0，所以${d}{= a}_{1}{= a}$

所以 an=na，$s_{n} = \frac{( n + 1 )^{} n a}{2}$

（Ⅱ）解：$\because \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{a} ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} )$

$\therefore A_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} = \frac{2}{a} (1 - \frac{1}{n + 1})$

$\because a_{2^{n - 1}} = 2^{n - 1} a$，所以

$B_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2^{n} - 1}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{2}{a} \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}})$

当 n≥2 时，$2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \cdots + C_{n}^{n} > n + 1$，即$1 - {\frac{1}{n + 1}} < 1 - {\frac{1}{2^{n}}}$

所以，当$a > 0$时，$A_{n} < B_{n} ;$；当$a < 0$时，$A_{n} > B_{n}$