浙江 2011 · 数学 q18

题面

18、（2011•浙江）在△ABC 中，角 A，B，C，所对的边分别为 a，b，c．已知 sinA+sinC=psinB（p∈R）．且$a c {=} \frac{1}{4} b^{2}$

（Ⅰ）当$p {=} \frac{5}{4} , b {=} 1$时，求a，c的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围

（Ⅰ）当$p {=} \frac{5}{4} , b {=} 1$时，求 a，c 的值；

（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围

解析

分析

（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值

（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出$p^{2}$，进而利用cosB的范围确定${p}^{2}$的范围，进而确定pd 范围

解答

（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得${\left\{\begin{array}{l l}{a + c = {\frac{5}{4}}} \\ {a c = {\frac{1}{4}}} \end{array} \right.}$

故可知a，c为方程$x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{1}{4} = 0$的两根，

进而求得 a=1，$c {=} \frac{1}{4}$或$a {=} \frac{1}{4}$，b=1

（Ⅱ）解：由余弦定理得$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B = ( a + c )^{2} - 2 a c - 2 a c \cos B = p^{2} b^{2} - \frac{1}{2} b^{2} \cos B - \frac{1}{2} b^{2}$，

即$p^{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cos B$

因为$0 {<} \cos B {<} 1$，

所以$p^{2} \in ( \frac{3}{2} , 2 )$，由题设知$p > 0$，所以$\frac{\sqrt{6}}{2} < p < \sqrt{2}$