浙江 2011 · 数学 q14

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2011 · 数学 q14 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

14、（2011•浙江）若平面向量 α，β 满足\vert \mathfrak{a} \vert = 1$$| \beta | {\leq} 1，且以向量 α，β 为邻边的平行四边形的面积为∣12,| {\frac{1}{2}} ,，则 α 和 β的夹角θ的范围是

答案

[30∘,150∘]\left[3 0^{\circ} , \enspace 1 5 0^{\circ} \right]，或[π6,5π6]\begin{array}{r l}{[\frac{\pi}{6} ,} & {{} \frac{5 \pi}{6}]} \end{array}

解析

分析

根据平行四边形的面积，得到对角线分成的两个三角形的面积，利用正弦定理写出三角形面积的表示式，表示出要求角的正弦值，根据角的范围写出符合条件的角

解答

解：∵12∣α⃗∣∣β⃗∣ sinθ=14\because \frac{1}{2} | \vec{\alpha}_{| |} \vec{\beta}_{| \ s i n \theta = \frac{1}{4}}

∴sin⁡θ=12∣α⃗∣∣β⃗∣,\therefore \sin \theta = \frac{1}{2 | \vec{\alpha} | | \vec{\beta} |},

∵∣α⃗∣=1,∣β⃗∣≤1,\because | \vec{\alpha} | = 1, \quad | \vec{\beta} | \leq 1,

∴sin⁡θ≥12,\therefore \sin \theta \geq \frac{1}{2},

∵θ∈[0，π]

∴θ∈[30∘,150∘],\therefore \theta \in[3 0^{\circ}, 1 5 0^{\circ}],

故答案为：[30∘,150∘]\left[3 0^{\circ} , \enspace 1 5 0^{\circ} \right]，或[π6,5π6]\begin{array}{r l}{[\frac{\pi}{6} ,} & {{} \frac{5 \pi}{6}]} \end{array}