浙江 2010 · 数学 q21

题面

(21)(本题满分15分)已知m>1，直线 $l:x-my-\frac{m^{2}}{2}=0$ ，椭圆 $C:\frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1,F_{1},F_{2}$

分别为椭圆 C 的左、右焦点.

（I）当直线 l 过右焦点 $F_{2}$ 时，求直线 l 的方程；

（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， $\Delta AF_{1}F_{2}$ ， $\Delta BF_{1}F_{2}$ 的重心分别为 G，H. 若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围.

分别为椭圆 C 的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线l过右焦点 $F_{2}$ 时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点， $VAF_{1}F_{2}$ ， $VBF_{1}F_{2}$ 的重心分别为 G, H. 若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围.

(21) 本题主要考查椭圆的几何性质, 直线与椭圆, 点与圆的

位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分

（I）解：因为直线 $l: x - my - \frac{m^2}{2} = 0$ 经过 $F_{2}(\sqrt{m^{2} - 1}, 0)$

所以 $\sqrt{m^2 - 1} = \frac{m^2}{2}$, 得 $m^2 = 2$

又因为 $m > 1$ .所以 $m = \sqrt{2}$

故直线 l 的方程为 $x - \sqrt{2}y - 1 = 0$ .

（Ⅱ）解：设 $A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})$ ,

由 $\left\{\begin{array}{l} x = my + \frac{m^2}{2}, \\ \frac{x^2}{m^2} + y^2 = 1 \end{array} \right.$ 消去 $x$ 得 $2y^2 + my + \frac{m^2}{4} + 1 = 0$

则由 $\Delta = m^2 - 8\left(\frac{m^2}{4} - 1\right) = -m^2 + 8 > 0$，

知 $m^2 < 8$ 且有 $y_{1} + y_{2} = -\frac{m}{2}, y_{1}y_{2} = \frac{m^{2}}{8} -\frac{1}{2}.$

由于 $F_{1}(-c,0), F_{2}(c,0)$

故 O 为 $F_{1}F_{2}$ 的中点，

由 $\overrightarrow{AG} = 2\overrightarrow{GO},\overrightarrow{BH} = 2\overrightarrow{HO}$ ，可知 $G(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}),H(\frac{x^2}{3},\frac{y_2}{3})$

$\mid G H \mid^{2} = \frac{\left(x_{1} - x_{2}\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y_{1} - y_{2}\right)^{2}}{9}.$

设 M 是 GH 的中点，则 $M(\frac{x_{1}+x_{2}}{6},\frac{y_{1}+y_{2}}{6})$

由题意可知， $2 \mid MO \mid < \mid GH \mid$

$\mathbb{1} \left[\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{6}\right)^{2} + \left(\frac{y_{1} + y_{2}}{6}\right)^{2} \right] < \frac{\left(x_{1} - x_{2}\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y_{1} - y_{2}\right)^{2}}{9}$

即 $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} < 0.$

而 $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = (my_{1} + \frac{m^{2}}{2})(my_{2} + \frac{m^{2}}{2}) + y_{1}y_{2} = (m^{2} + 1)(\frac{m^{2}}{8} -\frac{1}{2}),$

所以 $\frac{m^2}{8} -\frac{1}{2} < 0.$ 即 $m^2 < 4$

又因为 m > 1 且 $\Delta > 0$ . 所以 1 < m < 2.

所以 m 的取值范围是 $(1, 2)$ 。