浙江 2010 · 数学 q20

题面

(20) (本题满分 15 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, 点 E, F 分别在线段 AB, AD 上, $AE = EB = AF = \frac{2}{3}FD = 4$. 沿直线 EF 将 $\Delta AEF$ 翻折成 $\Delta A'EF$, 使平面 $A'EF \perp$ 平面 BEF.

(I) 求二面角 $A' - FD - C$ 的余弦值;

(II) 点 M, N 分别在线段 FD, BC 上, 若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与 $A'$ 重合, 求线段 FM 的长.

$AE = EB = AF = \frac{2}{3}FD = 4$. 沿直线 $EF$ 将 $VAEF$ 翻折成 $VA'EF$，使平面 $A'EF \perp$ 平面 $BEF$.

（Ⅰ）求二面角 $A' - FD - C$ 的余弦值；

(Ⅱ) 点 M, N 分别在线段 FD, BC 上, 若沿直线 MN 将四边形

MNCD 向上翻折，使 C 与 $A'$ 重合，求线段 FM 的长。

（20）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向中量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

（Ⅰ）解：取线段 EF 的中点 H，连结 $A^{\prime}H$

因为 $A^{\prime}E = A^{\prime}F$ 及 H 是 EF 的中点，

所以 $A^{\prime}H \perp EF$

又因为平面 $A^{\prime}EF \perp$ 平面 BEF，及 $A^{\prime}H \subset$ 平面 $A^{\prime}EF$ .

所以 $A^{\prime}H \perp$ 平面 BEF。

如图建立空间直角坐标系 A-xyz.

则 $A'(2,2,2\sqrt{2}), C(10,8,0), F(4,0,0), D(10,0,0)$.

故 $\overrightarrow{FN} = (-2,2,2\sqrt{2}),\overrightarrow{FD} = (6,0,0)$

设 $\vec{n}=(x,y,z)$ 为平面 $A^{\prime}FD$ 的一个法向量

所以 $\left\{\begin{aligned}-2x+2y+2\sqrt{2}z=0\\6x=0\end{aligned}\right.$

取 $z = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{n} = (0, - 2,\sqrt{2})$

又平面 BEF 的一个法向量 $\vec{m}=(0,0,1)$

故 $\cos <\vec{n},\vec{m}>=\frac{\vec{n}\cdot\vec{m}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

所以二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

（Ⅱ）解：设 $FM = x£ \neg$ 则 $M(4 + x,0,0)$

因为翻折后，C 与 A 重合，所以 $CM = A'M$

故 $(6-x)^{2}+8^{2}+0^{2}=(-2-x)^{2}+2^{2}+(2\sqrt{2})^{2}$ ，得 $x=\frac{21}{4}$

经检验，此时点 N 在线段 BG 上,所以 $FM = \frac{21}{4}$ .

方法二：

(Ⅰ) 解: 取截段 EF 的中点 H, AF 的中点 G, 连结 $A^{\prime}G$, NH, GH

因为 $A^{\prime}E = A^{\prime}F$ 及 H 是 EF 的中点，所以 $A^{\prime}H//EF$ 。

又因为平面 $A'EF \perp$ 平面 BEF，所以 $A'H' \perp$ 平面 BEF，

又 $AF \subset$ 平面 BEF,

故 $A'H \perp AF$ ，

又因为 G, H 是 AF, EF 的中点,

易知 GH//AB,

所以 GH⊥AF，

于是 $AF \perp$ 面 $A' \mathrm{GH}$

所以 $\angle A'GH$ 为二面角 $A'$ —DF—C 的平面角，

在 $Rt\Delta A^{\prime}GH$ 中， $A^{\prime}H = 2\sqrt{2},GH = 2,A^{\prime}G = 2\sqrt{3}$

所以 $\cos\angle A'GH=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

故二面角 $A^{\prime}-DF-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

（Ⅱ）解：设 FM = x，

因为翻折后，G 与 $A'$ 重合，所以 $CM \perp A'M$ ，

而 $CM^2 = DC^2 +DM^2 = 8^2 +(6 - x)^2$

$A^{\prime}M^{2}=A^{\prime}H^{2}+MH^{2}=A^{\prime}H^{2}+MG^{2}+GH^{2}-(2\sqrt{2})^{2}+(x+2)^{2}+2^{2}$ ，得 $x=\frac{21}{4}$

经检验，此时点 N 在线段 BC 上，所以 $FM = \frac{21}{4}$ .