浙江 2010 · 数学 q18

题面

(18)(本题满分14分)在 $\Delta ABC$ 中, 角A、B、C所对的边分别为a, b, c, 已知 $\cos2C=-\frac{1}{4}$ .

(I) 求 $\sin C$ 的值;

（II）当 a=2， $2\sin A=\sin C$ 时，求 b 及 c 的长.

(I)求 $\sin C$ 的值;

(II)当 a=2， $2\sin A=\sin C$ 时，求 b 及 c 的长.

解析

本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。

（18）本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（I）解：因为 $\cos 2C = 1 - 2\sin^2 C = -\frac{1}{4}$，及 $0 < C < \pi$

所以 $\sin C = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .

（Ⅱ）解：当 $a = 2,2\sin A = \sin C$ 时，

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ ，得c=4.

由 $\cos 2C = 2\cos^{2}C - 1 = -\frac{1}{4}$ ，及 $0 < C < \pi$ 得 $\cos C = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

由余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$，得 $b^2 \pm \sqrt{6} b - 12 = 0$

解得 $b = \sqrt{6}$ 或 $2\sqrt{6}$

所以 $\left\{\begin{aligned}b&=\sqrt{6},\\ c&=4\end{aligned}\right.$ 或 $\left\{\begin{aligned}b&=2\sqrt{6}\\ c&=4.\end{aligned}\right.$