浙江 2010 · 数学 q16

题面

（16）已知平面向量 $a, \beta (a \neq 0, a \neq \beta)$ 满足 $\left|\beta\right| = 1$ ，且 a 与 $\beta - a$ 的夹角为 $120^{\circ}$ 则 $\left|a\right|$ 的取值范围是 ____。

答案

$\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

解析

利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，设 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\alpha}$，$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{\beta}$，如图，由题意得：$\angle OAB = 60^{\circ}$，$\therefore 0^{\circ} < \angle OBA < 120^{\circ}$，$\therefore 0 < \sin \angle OBA \leqslant 1$，在三角形 OAB 中，

由正弦定理： $|OA|=\frac{|OB|\sin\angle OBA}{\sin60^{0}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\angle OBA\in(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ 即 $\left|\overrightarrow{\alpha}\right|$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$ 。

【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。