浙江 2009 · 数学 q21

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2009 · 数学 q21 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 官方解析）

题面

  1. （2009 浙江理 21）已知椭圆 C1C_{1} ： y2a2+x2b2=1(a>b>0)\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) 的右顶点为 A(1,0)A(1,0) ，过 C1C_{1} 的焦点且垂直长轴的弦长为 1。

(1) 求椭圆 C1C_{1} 的方程;

（Ⅱ）设点 PP 在抛物线 C2C_2 ： y=x2+h(h∈R)y = x^{2} + h(h\in \mathbb{R}) 上， C2C_2 在点 PP 处的切线与 C1C_1 交于点 M,NM,N 当线段 APAP 的中点与 MNMN 的中点的横坐标相等时，求 hh 的最小值。

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解析

（1）由题意得 {b=12⋅b2a=1,∴{a=2b=1\left\{\begin{array}{l} b = 1 \\ 2 \cdot \frac{b^2}{a} = 1, \therefore \left\{\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 1 \end{array} \right. \end{array} \right.，所求的椭圆方程为 y24+x2=1\frac{y^2}{4} + x^2 = 1

(Ⅱ)不妨设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h)M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),P(t,t^{2} + h) ，则抛物线 C2C_2 在点 PP 处的切线斜率为 y′∣x=t=2ty^{\prime}\big|_{x = t} = 2t ，直线MN的方程为 y=2tx−t2+hy = 2tx - t^2 +h ，将上式代入椭圆 C1C_1 的方程中，得 4x2+(2tx−t2+h)2−4=04x^{2} + (2tx - t^{2} + h)^{2} - 4 = 0 即 4(1+t2)x2−4t(t2−h)x+(t2−h)2−4=04\left(1 + t^2\right)x^2 -4t(t^2 -h)x + (t^2 -h)^2 -4 = 0 ，因为直线MN与椭圆 C1C_1 有两个不同的交点，所以有 Δ1=16[−t4+2(h+2)t2−h2+4]>0\Delta_1 = 16\left[-t^4 +2(h + 2)t^2 -h^2 +4\right] > 0

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3x_{3} ，则 x3=x1+x22=t(t2−h)2(1+t2)x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{t(t^{2}-h)}{2(1+t^{2})} ，

设线段 PA 的中点的横坐标是 x4x_{4} ，则 x4=t+12x_{4}=\frac{t+1}{2} ，由题意得 x3=x4x_{3}=x_{4} ，即有 t2+(1+h)t+1=0t^{2}+(1+h)t+1=0 ，其中的 Δ2=(1+h)2−4≥0,∴h≥1\Delta_{2}=(1+h)^{2}-4\geq0,\therefore h\geq1 或 h≤−3h\leq-3 ；

当 h≤−3h \leq -3 时有 h+2<0,4−h2<0h + 2 < 0, 4 - h^2 < 0，因此不等式 Δ1=16[−t4+2(h+2)t2−h2+4]>0\Delta_1 = 16\left[-t^4 + 2(h + 2)t^2 - h^2 + 4\right] > 0 不成立；因此 h≥1h \geq 1，当 h=1h = 1 时代入方程 t2+(1+h)t+1=0t^2 + (1 + h)t + 1 = 0 得 t=−1t = -1，将 h=1,t=−1h = 1, t = -1 代入不等式 Δ1=16[−t4+2(h+2)t2−h2+4]>0\Delta_1 = 16\left[-t^4 + 2(h + 2)t^2 - h^2 + 4\right] > 0 成立，因此 hh 的最小值为 1.