浙江 2009 · 数学 q20

题面

20.（2009 浙江理 20）如图，平面 $PAC \perp$ 平面 $ABC$，$\Delta ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，$E, F, O$ 分别为 $PA$，$PB$，$AC$ 的中点，$AC = 16$，$PA = PC = 10$.

(1) 设 G 是 OC 的中点，证明： $FG //$ 平面 BOE；

(Ⅱ) 证明：在 $\Delta ABO$ 内存在一点 M，使 $FM \perp$ 平面 BOE，并求点 M 到 OA，OB 的距离.

20

答案

证明：（1）如图，连结 OP，以 O 为坐标原点，分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O -xyz，则 $O(0,0,0)$ , $A(0,-8,0)$ , $B(8,0,0)$ , $C(0,8,0)$ , $P(0,0,6)$ , $E(0,-4,3)$ , $F(4,0,3)$ ，由题意得，

$G(0,4,0)$ ，因 $\overrightarrow{OB}=(8,0,0),\overrightarrow{OE}=(0,-4,3)$ ，因此平面 BOE 的法向量为 $\vec{n}=(0,3,4)$ ， $\overrightarrow{FG}=(-4,4,-3)$ 得 $\vec{n}\cdot\overrightarrow{FG}=0$ ，又直线 FG 不在平面 BOE 内，因此有 FG // 平面 BOE

设点 M 的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}, 0\right)$ ，则 $\overrightarrow{FM} = (x_{0} - 4, y_{0}, -3)$ ，因为 $FM \perp$ 平面 BOE，所以有 $\overrightarrow{FM} // \vec{n}$ ，因此有 $x_{0} = 4, y_{0} = -\frac{9}{4}$ ，即点 M 的坐标为 $\left(4, -\frac{9}{4}, 0\right)$ ，在平面直角坐标系 xoy 中， $\Delta AOB$ 的内部区域满足不等式组 $\left\{\begin{aligned} x &= 0 \\ y &= 0 \\ x &= -y &= 8 \end{aligned}\right.$ ，经检验，点 M 的坐标满足上述不等式组，所以在 $\Delta ABO$ 内存在一点 M，使 $FM \perp$ 平面 BOE，由点 M 的坐标得点 M 到 OA，OB 的距离为 $\frac{4, \frac{9}{4}}{4}$ 。