浙江 2009 · 数学 q18

题面

18. （2009 浙江理 18）在 $\Delta ABC$ 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，且满足 $\cos \frac{A}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ ， $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3$ 。（Ⅰ）求 $\Delta ABC$ 的面积；（Ⅱ）若 $b + c = 6$ ，求 a 的值。

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解析

（1）因为 $\cos\frac{A}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ，∴ $\cos A=2\cos^{2}\frac{A}{2}-1=\frac{3}{5},\sin A=\frac{4}{5}$ ，又由 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3$ ，得 $bc\cos A=3,\therefore bc=5$ ，∴ $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=2$

（Ⅱ）对于 $bc = 5$ ，又 $b + c = 6$ ， $\therefore b = 5, c = 1$ 或 $b = 1, c = 5$ ，由余弦定理得 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 20$ ， $\therefore a = 2\sqrt{5}$