浙江 2009 · 数学 q17

题面

17. （2009 浙江理 17）如图，在长方形 ABCD 中，AB = 2，BC = 1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC （端点除外）上一动点。现将 $\Delta AFD$ 沿 AF 折起，使平面 $ABD \perp$ 平面 ABC。在平面 ABD内过点 $D$ 作 $DK \perp AB$，$K$ 为垂足. 设 $AK = t$，则 $t$ 的取值范围是 ____.

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答案

$\left(\frac{1}{2},1\right)$

【解题关键点】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于 F 位于 DC 的中点时，t=1，随着 F 点到 C 点时，因 $CB \perp AB, CB \perp DK, \therefore CB \perp$ 平面 ADB，即有 $CB \perp BD$ ，对于 $CD = 2, BC = 1, \therefore BD = \sqrt{3}$ ，又 $AD = 1, AB = 2$ ，因此有 $AD \perp BD$ ，则有 $t = \frac{1}{2}$ ，因此 t 的取值范围是 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$