浙江 2009 · 数学 q10

题面

10.（2009浙江理10）对于正实数 $\alpha$ ，记 $M_{\alpha}$ 为满足下述条件的函数 $f(x)$ 构成的集合： $\forall x_{1},x_{2}\in R$ 且 $x_{2} > x_{1}$ ，有 $-\alpha (x_2 - x_1) < f(x_2) - f(x_1) < \alpha (x_2 - x_1)$ .下列结论中正确的是（ ）
A.若 $f(x)\in M_{\alpha 1},g(x)\in M_{\alpha 2}$ ，则 $f(x)\cdot g(x)\in M_{\alpha 1\cdot \alpha 2}$
B.若 $f(x)\in M_{\alpha 1},g(x)\in M_{\alpha 2}$ ，且 $g(x)\neq 0$ ，则 $\frac{f(x)}{g(x)}\in M_{\frac{\alpha 1}{\alpha 2}}$
C.若 $f(x)\in M_{\alpha 1},g(x)\in M_{\alpha 2}$ ，则 $f(x) + g(x)\in M_{\alpha 1 + \alpha 2}$
D.若 $f(x)\in M_{\alpha 1},g(x)\in M_{\alpha 2}$ ，且 $\alpha_{1} > \alpha_{2}$ ，则 $f(x) - g(x)\in M_{\alpha 1 - \alpha 2}$

10

答案

C

【解题关键点】对于 $-\alpha(x_{2}-x_{1})<f(x_{2})-f(x_{1})<\alpha(x_{2}-x_{1})$ ，即有 $-\alpha<\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}<\alpha$ ， 令 $\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=k$ ，有 $-\alpha<k<\alpha$ ，不妨设 $f(x)\in M_{\alpha1}$ ， $g(x)\in M_{\alpha2}$ ，即有 $-\alpha_{1}<k_{f}<\alpha_{1}$ ， $-\alpha_{2}<k_{g}<\alpha_{2}$ ，因此有 $-\alpha_{1}-\alpha_{2}<k_{f}+k_{g}<\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，因此有 $f(x)+g(x)\in M_{\alpha1+\alpha2}$ .