5.2.3 简单复合函数的导数

文字转写

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

$\begin{array}{r l} c ^ {\prime} (x) & = \left(\frac {5 2 8 4}{1 0 0 - x}\right) ^ {\prime} \\ & = \frac {5 2 8 4 ^ {\prime} \times (1 0 0 - x) - 5 2 8 4 \times (1 0 0 - x) ^ {\prime}}{(1 0 0 - x) ^ {2}} \\ & = \frac {0 \times (1 0 0 - x) - 5 2 8 4 \times (- 1)}{(1 0 0 - x) ^ {2}} \\ & = \frac {5 2 8 4}{(1 0 0 - x) ^ {2}}. \end{array}$

（1）因为 $c^{\prime}(90) = \frac{5284}{(100 - 90)^{2}} = 52.84$ ，所以，净化到纯净度为 $90\%$ 时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.

（2）因为 $c^{\prime}(98) = \frac{5284}{(100 - 98)^{2}} = 1321$ ，所以，净化到纯净度为 $98\%$ 时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.

函数 $f(x)$ 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢。由上述计算可知，$c'(98) = 25c'(90)$。它表示净化到纯净度为 $98\%$ 左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为 $90\%$ 左右时净化费用变化率的25倍。这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。

练习

1. 运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解 5.1 节例 2. 你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？

2. 求下列函数的导数： (1) $y=2x^{3}-3x^{2}-4;$ (2) $y=3\cos x+2^{x};$ (3) $y=e^{x}\ln x;$ (4) $y=(x^{2}+2x)\sqrt{x};$ (5) $y=\frac{\ln x}{x};$ (6) $y=\tan x.$

3. 求曲线 $y=x^{2}+\frac{3}{x}$ 在点（1，4）处的切线方程.

5.2.3 简单复合函数的导数

思考

如何求函数 $y = \ln (2x - 1)$ 的导数呢？

函数 $y = \ln (2x - 1)$ 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数。下面，我们先分析这个函数的结构特点。

若设 $u = 2x - 1\left(x > \frac{1}{2}\right)$，则 $y = \ln u$。从而 $y = \ln (2x - 1)$ 可以看成是由 $y = \ln u$ 和 $u = 2x - 1\left(x > \frac{1}{2}\right)$ 经过“复合”得到的，即 $y$ 可以通过中间变量 $u$ 表示为自变量 $x$ 的函数。如果把 $y$ 与 $u$ 的关系记作 $y = f(u)$，$u$ 与 $x$ 的关系记作 $u = g(x)$，那么这个“复合”过程可表示为

$y = f (u) = f (g (x)) = \ln (2 x - 1).$

一般地，对于两个函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$，如果通过中间变量 $u$，$y$ 可以表示成 $x$ 的函数，那么称这个函数为函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 的复合函数（composite function），记作 $y = f(g(x))$.

我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的。例如，函数 $y = \ln (2x - 1)$ 由 $y = \ln u$ 和 $u = 2x - 1\left(x > \frac{1}{2}\right)$ 复合而成。又如，函数 $y = \sin 2x$ 由 $y = \sin u$ 和 $u = 2x$ 复合而成。

如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 $y=\sin 2x$ 的导数.

一个合理的猜想是，函数 $y = \sin 2x$ 的导数一定与函数 $y = \sin u, u = 2x$ 的导数有关. 下面我们就来研究这种关系.

以 $y_{x}^{\prime}$ 表示 $y$ 对 $x$ 的导数，$y_{u}^{\prime}$ 表示 $y$ 对 $u$ 的导数，$u_{x}^{\prime}$ 表示 $u$ 对 $x$ 的导数。一方面，

$\begin{array}{r l} y _ {x} ^ {\prime} & = (\sin 2 x) ^ {\prime} = (2 \sin x \cos x) ^ {\prime} \\ & = 2 [ (\sin x) ^ {\prime} \cdot \cos x + \sin x \cdot (\cos x) ^ {\prime} ] \\ & = 2 [ \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (- \sin x) ] \\ & = 2 (\cos^ {2} x - \sin^ {2} x) \\ & = 2 \cos 2 x. \end{array}$

另一方面， $y_{u}^{\prime}=(\sin u)^{\prime}=\cos u,\ u_{x}^{\prime}=(2x)^{\prime}=2.$

可以发现， $y_{x}^{\prime}=2\cos2x=\cos u\cdot2=y_{u}^{\prime}\cdot u_{x}^{\prime}$

一般地，对于由函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 复合而成的函数 $y = f(g(x))$，它的导数与函数 $y = f(u)$，$u = g(x)$ 的导数间的关系为

$y _ {x} ^ {\prime} = y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {x} ^ {\prime}.$

即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

例 6 求下列函数的导数:

(1) $y = (3x + 5)^3$; (2) $y = e^{-0.05x + 1}$;

(3) $y=\ln(2x-1)$ .

解：（1）函数 $y = (3x + 5)^3$ 可以看作函数 $y = u^3$ 和 $u = 3x + 5$ 的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有

$\begin{array}{r l} y _ {x} ^ {\prime} & = y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {x} ^ {\prime} \\ & = (u ^ {3}) ^ {\prime} \cdot (3 x + 5) ^ {\prime} \\ & = 3 u ^ {2} \times 3 \\ & = 9 (3 x + 5) ^ {2}. \end{array}$

(2) 函数 $y=e^{-0.05x+1}$ 可以看作函数 $y=e^{u}$ 和 $u=-0.05x+1$ 的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有

$\begin{array}{r l} y _ {x} ^ {\prime} = & y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {x} ^ {\prime} \\ & = (\mathrm{e} ^ {u}) ^ {\prime} \cdot (- 0. 0 5 x + 1) ^ {\prime} \\ & = - 0. 0 5 \mathrm{e} ^ {u} \\ & = - 0. 0 5 \mathrm{e} ^ {- 0. 0 5 x + 1}. \end{array}$

（3）函数 $y = \ln (2x - 1)$ 可以看作函数 $y = \ln u$ 和 $u = 2x - 1\left(x > \frac{1}{2}\right)$ 的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有

$\begin{array}{r l} y _ {x} ^ {\prime} & = y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {x} ^ {\prime} \\ & = (\ln u) ^ {\prime} \cdot (2 x - 1) ^ {\prime} \\ & = \frac {1}{u} \times 2 \\ & = \frac {2}{2 x - 1}. \end{array}$

例 7 某个弹簧振子在振动过程中的位移 y (单位: mm) 与时间 t (单位: s) 之间的关系为 $y = 18 \sin \left( \frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2} \right)$ . 求函数 y 在 t = 3 s 时的导数，并解释它的实际意义.

解：函数 $y = 18\sin \left(\frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right)$ 可以看作函数 $y = 18\sin u$ 和 $u = \frac{2\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}$ 的复合函数，根据复合函数的求导法则，有

$\begin{array}{r l} y _ {t} ^ {\prime} & = y _ {u} ^ {\prime} \cdot u _ {t} ^ {\prime} \\ & = (1 8 \sin u) ^ {\prime} \cdot \left(\frac {2 \pi}{3} t - \frac {\pi}{2}\right) ^ {\prime} \\ & = 1 8 \cos u \times \frac {2 \pi}{3} \\ & = 1 2 \pi \cos \left(\frac {2 \pi}{3} t - \frac {\pi}{2}\right). \end{array}$

当 t=3 时， $y_{t}^{\prime}=12\pi\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0.$

它表示当 $t=3\ s$ 时，弹簧振子振动的瞬时速度为 $0\ mm/s$ .

1. 求下列函数的导数： (1) $y=\frac{2}{\sqrt{3x+1}}$ ; (2) $y=(1-2x)^{3}$ ; (3) $y=\log_{2}(2x+1)$ ; (4) $y=\cos\frac{x}{3}$ ; (5) $y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)$ ; (6) $y=2^{2x+1}$ .

2. 求下列函数在给定点处的导数:

(1) $y = \mathrm{e}^{-2x + 1}$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处的导数；

(2) $y = \ln(5x + 2)$ 在 x = 1 处的导数.

3. 求曲线 $y=\sqrt[3]{3x-1}$ 在点 $\left(\frac{2}{3},1\right)$ 处的切线方程.

习题5.2

复习巩固

$y = 2 x ^ {3} - 3 x ^ {2} + 5;$

(2) $y = \frac{2}{x} + \frac{4}{x + 1}$;

(3) $y=2^{x}+\log_{2}x;$

$y = x ^ {5} \mathrm{e} ^ {x};$

(5) $y = \frac{x^3 - 1}{\sin x}$;

(6) $y = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$.

2. 求下列函数的导数： (1) $y=(x+1)^{99}$ ;

(2) $y=\frac{x}{\sqrt{2x+1}}$ ;

(3) $y=(2x-3)\sin(2x+5)$ ;

(4) $y=\frac{\cos(3x-2)}{2x}$ ;

(5) $y=(3x+1)^{2}\ln(3x)$ ;

(6) $y=3^{x}e^{-3x}$ .

3. 已知函数 $f(x) = 13 - 8x + \sqrt{2} x^2$，且 $f'(x_0) = 4$，求 $x_0$.

4. 已知函数 $y = x \ln x$.

(1) 求这个函数的导数；

(2) 求这个函数的图象在点 $(1, 0)$ 处的切线方程.

5. 求曲线 $y=\frac{\sin x}{x}$ 在点 $M(\pi,0)$ 处的切线方程.

综合运用

6. 已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin x - \cos x$，求 $f(x)$ 在 $x = \frac{\pi}{4}$ 处的导数.

7. 设函数 $f(x) = 1 - \mathrm{e}^{x}$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $P$，求该曲线在点 $P$ 处的切线方程.

8. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2}{2} + 2x - 3\ln x$，求 $f(x)$ 的导数，并求出 $f'(x) > 0$ 的解集.

9. 氢气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体。如果最初有 $500\mathrm{g}$ 氢气，那么 $t$ 天后，氢气的剩余量为 $A(t) = 500 \times 0.834^{t}\mathrm{g}$。（1）氢气的散发速度是多少？(2）$A^{\prime}(7)$ 的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？

10. 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 $l$ （单位： $\mathrm{m}$ ）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $l(t) = 2t^2 + \frac{3}{2} t$.

(1) 求 l 关于 t 的导数，并解释它的实际意义；

(2) 当 $t=3 \, s$ 时，求运动员的滑雪速度；

(3) 当运动员的滑雪路程为 $38 \, m$ 时，求此时的滑雪速度.

拓广探索

11. 设曲线 $y = \mathrm{e}^{2ax}$ 在点(0, 1)处的切线与直线 $2x - y + 1 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值.

12. 请按步骤，完成下面的任务.

(1) 利用信息技术工具，分别画出 $h = 1, 0.5, 0.1, 0.05$ 时，函数 $y = \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$ 的图象.
(2) 画出函数 $y = \cos x$ 的图象，并与上面的四个图象比较，当 $h$ 越来越小时，你观察到了什么？
(3) 猜测 $y = \sin x$ 的导数，它与基本初等函数的导数公式表中 $\sin x$ 的导数公式一样吗？

13. 某海湾拥有世界上最大的海潮．假设在该海湾某一固定点处，大海水深 $d$ （单位：m）与午夜后的时间 $t$ （单位：h）之间的关系为 $d(t) = 10 + 4\cos \frac{\pi}{6} t$．求下列时刻此固定点的水位变化速度（精确到 $0.01\mathrm{m / h}$）：（1）上午6：00；（2）上午10：00；（3）中午12：00；（4）下午4：00.

探究与发现

牛顿法——用导数方法求方程的近似解

人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。牛顿（Isaac Newton，1643—1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法。这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用。

下面，我们看看如何求方程 $\frac{1}{15}x^{3}-\frac{3}{5}x^{2}+2x-\frac{12}{5}=0$ 的根.

从函数的观点看，方程 $\frac{1}{15} x^3 -\frac{3}{5} x^2 +2x - \frac{12}{5} = 0$ 的根就是函数 f(x) = \frac{1}{15} x^3 -$$\frac{3}{5} x^{2} + 2x - \frac{12}{5} 的零点. 从图形上看, 一个函数的零点 $r$ 就是函数 $f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的交点的横坐标 (图1). 那么, 如何求 $r$ 的值呢?

如果可以找到一步一步逼近 r 的 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ ，使得当 n 很大时， $|x_{n}-r|$ 很小，那么，我们就可以把 $x_{n}$ 的值作为 r 的近似值，即把 $x_{n}$ 作为方程 $f(x)=0$ 的近似解.

牛顿用“作切线”的方法找到了这一串 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ，…， $x_{n}$ 。当然，要有一个起始点，比如，我们从 $x_{0}=6$ 开始。 $^{①}$

如图1，在横坐标为 $x_0$ 的点处作 $f(x)$ 的切线，切线与 $x$ 轴交点的横坐标就是 $x_1$；用 $x_1$ 代替 $x_0$ 重复上面的过程得到 $x_2$；一直继续下去，得到 $x_0, x_1, \dots, x_n$。从图形上我们可以看到，$x_1$ 较 $x_0$ 接近 $r, x_2$ 较 $x_1$ 接近 $r$，等等。它们越来越逼近 $r$。接下来的任务是计算 $x_n$。我们知道，$f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率是 $f'(x_0)$，因此切线方程为

$y - f (x _ {0}) = f ^ {\prime} (x _ {0}) (x - x _ {0}).$

如果 $f^{\prime}(x_0)\neq 0$ ，那么切线与 $x$ 轴交点的横坐标是

$x _ {1} = x _ {0} - \frac {f (x _ {0})}{f ^ {\prime} (x _ {0})}.$

继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：

如果 $f'(x_{n - 1})\neq 0$ ，那么

x _ {n} = x _ {n - 1} - \frac {f (x _ {n - 1})}{f ^ {\prime} (x _ {n - 1})}. \tag {②}

对于一个给定的精确度，你能根据上述公式，求出方程 $\frac{1}{15}x^{3}-\frac{3}{5}x^{2}+2x-\frac{12}{5}=0$ 的近似解吗？

进一步思考以下问题：

1. 不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？

2. 你还知道其他求方程近似解的方法吗？你认为牛顿法的优点和缺点是什么？

● ●

① 起始点当然是越接近零点越好，我们可以事先对零点作一个估计。如果使用信息技术工具，这种估计是比较容易的。

。

② 请同学们自己推导.